方法索引

前缀和是从首项累加到当前项的和。离散分部求和把原项的权重转移到这些前缀和上。

已知前缀和的范围，要估计带权和时使用。

1. (1)

   记 $S_k=a_1+\cdots +a_k$，并令 $S_0=0$。

2. (2)

   用 $a_k=S_k-S_{k-1}$ 代入带权和。

3. (3)

   合并同一个 $S_k$ 的系数，保留末端项，再核初值。

自编小例：设 $(a_1,a_2,a_3)=(2,-1,3)$，用前缀和计算 $a_1+2a_2+3a_3$。

前缀和为 $S_1=2,S_2=1,S_3=4$。展开得 $S_1+2(S_2-S_1)+3(S_3-S_2)=3S_3-S_1-S_2=12-2-1$。直接算 $2-2+9$ 也相同。

结果：$9$。

末端的 $3S_3$ 不能丢掉。若任意选择前缀和来取等，还要用相邻差恢复原数列并检验原约束。

仿射表示把点写成一个基点加若干方向的线性组合。不同方向独立时，才能逐个比较系数。

位置关系和分点关系能写成一次式时使用。

1. (1)

   选同一个基点，写出各方向向量。

2. (2)

   确认方向独立，再联立系数；不独立时保留自由参数。

3. (3)

   把解代回坐标，并检查线段参数范围和长度尺度。

自编小例：从原点出发，取 $u=(2,0),v=(0,3)$。点 $P=(4,3)$ 满足 $P=su+tv$，求 $s,t$。

$u,v$ 不平行，表示唯一。比较横坐标得 $2s=4$，纵坐标得 $3t=3$。代回 $2(2,0)+(0,3)=(4,3)$。

结果：$s=2,t=1$。

方向向量不必是单位向量，参数差不能直接当长度。点在线段上时还要检查参数是否在 $[0,1]$。

降幂就是利用一个低次等式，把高次幂换成低次幂的组合。

已知一个数满足二次或其他低次方程时使用。

1. (1)

   先整理出最低次数的关系。

2. (2)

   两边乘适当幂，再反复替换高次项。

3. (3)

   保留根的原分支，代回初始关系核验。

自编小例：实数 $a$ 满足 $a^2=a+1$。把 $a^4$ 写成 $a$ 的一次式。

$a^3=a(a+1)=a^2+a=2a+1$。再乘 $a$ 得 $a^4=2a^2+a=2(a+1)+a$。这个推导对原方程的两个实根都成立。

结果：$a^4=3a+2$。

递推初值必须从原式计算。若题目指定正根，最终还原数值时不能换成负根。

交错级数的相邻项符号相反。绝对值单调趋零时，奇数部分和与偶数部分和从两侧夹住极限。

需要判断交错和的误差大小及方向时使用。

1. (1)

   先证绝对值单调趋零。

2. (2)

   把邻项配对，确定奇偶部分和的上下方向。

3. (3)

   用第一遗漏项控制误差，并保留它的符号。

自编小例：设 $L=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$。用前两项和估计 $L$。

$1/n$ 严格递减趋零。偶数部分和递增，奇数部分和递减，间距趋零，故有共同极限。$S_2=1/2$，下一项为正的 $1/3$，所以 $0<L-S_2<1/3$。

结果：$\frac{1}{2}<L<\frac{5}{6}$。

只有交错符号还不够，必须核单调和趋零。有限部分和的严格界与极限等号不能混写。

算术平均数是不带权的总和除以项数。非负数的算术平均数不小于几何平均数，正权版本也要使权重和为一。

正量的和与积互相制约时使用。

1. (1)

   确认每个参与均值的量非负，需要约分时确认正值。

2. (2)

   把约束安排进和或积，选合适的项数或权重。

3. (3)

   写出所有取等条件，再回原变量构造取等。

自编小例：正数 $x,y$ 满足 $x+y=10$，求 $xy$ 的最大值。

$\sqrt{xy}\le (x+y)/2=5$，两边非负，平方得 $xy\le 25$。当且仅当 $x=y$ 取等，原约束给 $x=y=5$，确实可取。

结果：最大值为 $25$。

不能把负数直接放进这个实数均值公式。多个均值不等式同时使用时，各自取等条件必须能够同时满足。

半周长是三边和的一半。三角形面积等于内切半径乘半周长，也等于三边乘积除以四倍外接半径。

面积、高和内外接圆半径之间需要互换时使用。

1. (1)

   先确认同一个非退化三角形的边与面积。

2. (2)

   按目标选 $\Delta =rs$ 或 $\Delta =abc/(4R)$。

3. (3)

   解出目标量，核半径为正且尺度一致。

自编小例：直角三角形两直角边为 $3,4$，斜边为 $5$，求内切半径和外接半径。

面积 $\Delta =3\times 4/2=6$，半周长 $s=(3+4+5)/2=6$。所以 $r=6/6=1$，$R=3\times 4\times 5/(4\times 6)=5/2$，也等于斜边的一半。

结果：$r=1,R=5/2$。

半周长不能当成周长。不同三角形的面积和半径不能放进同一个公式。

重心是三条中线的交点，其位置向量是三个顶点位置向量的平均。其他中心有各自的权重或定义，不能照套。

已知中心的加权位置关系，要解点的位置时使用。

1. (1)

   从所讨论中心的定义确定权重。

2. (2)

   把权重除以总和，在同一基点写位置式。

3. (3)

   代回原定义，核三角形不退化及顶点次序。

自编小例：三角形顶点为 $A=(0,0),B=(6,0),C=(0,3)$，求重心 $G$。

重心权重为 $1:1:1$，故 $G=((0+6+0)/3,(0+0+3)/3)=(2,1)$。$BC$ 中点为 $(3,3/2)$，而 $G$ 在从 $A$ 到该中点的 $2/3$ 处。

结果：$G=(2,1)$。

内心的权重是对应对边长，不能与重心混用。外心的等距条件和垂心的垂直条件需要另行转成可用关系。

Bernoulli 不等式用幂函数在 $1$ 处的线性式估计它：当 $r\ge 1,u\ge -1$ 时，$(1+u{)}^r\ge 1+ru$。

幂的底数接近一，需要一个线性下界时使用。

1. (1)

   核指数和底数满足条件。

2. (2)

   把底数写成 $1+u$，代入线性界。

3. (3)

   检查等号，并保留后续乘除所需正负条件。

自编小例：不用完整展开，给 $(1.1{)}^3$ 一个线性下界，再用展开核验。

取 $u=1/10,r=3$，得到 $(1.1{)}^3\ge 1+3/10=1.3$。展开是 $1+3/10+3/100+1/1000=1.331$，严格大于下界。

结果：线性下界为 $1.3$，实际值为 $1.331$。

当 $0<r<1$ 时不等号方向相反。非整数实指数不能随意使用负底数。

编码是用一组较简单的参数唯一代表一个对象。计数前要证明能编码，也能从编码恢复对象。

位置有间隔限制或对象可删去固定骨架时使用。

1. (1)

   规定参数及其真实范围。

2. (2)

   写出正向编码和反向恢复式。

3. (3)

   证明无重无漏，再对互不重叠的参数类型计数。

自编小例：长度为 $5$ 的二进制串恰有两个 $1$，且它们不相邻，有多少个？

设两个 $1$ 的位置为 $i<j$，有 $j\ge i+2$。令 $p=i,q=j-1$，则 $1\le p<q\le 4$。反过来任取这样一对，用 $(i,j)=(p,q+1)$ 就能恢复，故共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 个。

结果：$6$ 个。

两个参数生成同一对象时不能直接相加。空隙可否重复使用、段之间是否必须隔开，都要在反向恢复中核清。

向量内积是对应分量乘积之和。柯西不等式给出内积的绝对值不超过两个向量长度的乘积。

范数受限，要估计线性式或分式和时使用。

1. (1)

   把目标写成两个向量的内积。

2. (2)

   计算长度并应用柯西界。

3. (3)

   核两个向量的比例与方向，以及原域是否允许取等。

自编小例：实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2=25$，求 $3x+4y$ 的最大值。

$(3x+4y{)}^2\le (3^2+4^2)(x^2+y^2)=625$，所以 $3x+4y\le 25$。取 $(x,y)=(3,4)$ 时满足原约束且目标为 $25$。

结果：最大值为 $25$。

只有平方等号还不够，求最大正值还要方向相同。若原域是一段线段或限制象限，理想取等点可能不合法。

柯西条件要求：任给正误差，足够靠后的任意两项都相差小于它。整数之间至少相隔一，这会迫使整数柯西数列最终不变。

不知道候选极限，但能统一控制两尾项差时使用。

1. (1)

   固定误差，找同时控制所有尾项的阈值。

2. (2)

   若取值有最小正间隔，把误差选得比间隔小。

3. (3)

   固定阈值之后的一项，与所有后续项比较。

自编小例：整数数列 $(a_n)$ 满足柯西条件。证明它从某项开始恒定。

取误差 $1/2$，存在 $N$，使任意 $n,m\ge N$ 都有 $|a_n-a_m|<1/2$。两个不同整数的距离至少为 $1$，所以这些差全为零。固定 $m=N$，便有所有 $n\ge N$ 时 $a_n=a_N$。

结果：该数列最终恒定。

共同阈值不能随所选尾项变化。固定的比较项也必须在阈值之后，不能拿首项直接比较。

中心展开是把相关的数都写成一个基准数加偏移。等差三数以中间项为中心，偏移成正负一对。

相减可消高次项，或多项式的根成等差数列时使用。

1. (1)

   选中项或共同基准，写出正负偏移。

2. (2)

   先成对相乘或相减，消掉对称项。

3. (3)

   移回原变量并展开核验系数。

自编小例：求以 $1,3,5$ 为根的首一三次多项式。

设 $t=x-3$，则三个因子为 $t+2,t,t-2$。乘积是 $t(t^2-4)=t^3-4t$。换回得 $(x-3{)}^3-4(x-3)=x^3-9x^2+23x-15$。

结果：$x^3-9x^2+23x-15$。

平移后的常数不能忘记换回。若只假定三个根等差，还要检验公差和根的重数是否符合原题。

圆心距是两圆圆心之间的距离。真圆外切时圆心距等于半径和，内切时等于半径差的绝对值。

要求两圆恰有一个交点，或判断圆是否正交时使用。

1. (1)

   化为圆心和正半径。

2. (2)

   按外切、内切或正交写圆心距关系。

3. (3)

   排除重合和零半径，核真实交点数。

自编小例：两圆分别为 $x^2+y^2=4$ 和 $(x-5{)}^2+y^2=9$，判断位置关系并求切点。

两圆半径为 $2,3$，圆心距为 $5=2+3$，所以外切。两式相减得 $-10x+25=5$，即 $x=2$；代回第一圆得 $y=0$。

结果：外切，唯一切点是 $(2,0)$。

半径相同且圆心相同是重合，不是内切。正交圆还要有两个真实交点，不能只解出一个形式上的平方关系。

点幂是点到圆心距离的平方减半径平方。圆外点作切线时，它等于切线长的平方。

同一点引出的割线、切线需要连接，或两圆相减求根轴时使用。

1. (1)

   确认是真圆并定位点在圆内还是圆外。

2. (2)

   用同一圆的点幂连接割线积或切线平方。

3. (3)

   长度取合法正根，交点仍回原圆核验。

自编小例：点 $P=(5,0)$ 到圆 $x^2+y^2=9$ 的切线长是多少？

圆心 $O=(0,0)$，半径 $3$，且 $OP=5>3$，有真切线。切线长平方为 $O{P}^2-3^2=25-9=16$；横轴割线的两段长为 $2,8$，乘积也为 $16$。

结果：切线长为 $4$。

圆内点的点幂为负，不能把它开方当实切线长。一般圆锥曲线上的根积不能直接称为圆幂。

复数的模表示长度，辐角表示方向。非零复数相乘时模相乘、方向角相加，取幂时相应重复。

复数乘幂或商的大小与方向可分开计算时使用。

1. (1)

   先把零和分母禁值单独处理。

2. (2)

   写出模及方向，分别乘幂或相除。

3. (3)

   按角度同余还原，并代回实虚部核符号。

自编小例：计算 $(1+i{)}^6$。

$1+i=\sqrt{2}(\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4))$。六次幂的模是 $(\sqrt{2}{)}^6=8$，角为 $6\pi /4=3\pi /2$，所以结果为 $-8i$。也可由 $(1+i{)}^2=2i$，再算 $(2i{)}^3=-8i$。

结果：$-8i$。

零没有辐角。求实数与求正实数所需的角度条件不同，不能只看模就决定符号。

实代数化是令复数 $z=x+iy$，把复条件改写为实数 $x,y$ 的方程和不等式。

复数模、实虚部或商的条件需要求轨迹时使用。

1. (1)

   先记录分母非零等原条件。

2. (2)

   代入 $x+iy$，分离实虚部或模平方。

3. (3)

   求出候选集合，再从候选点反代原式。

自编小例：求满足 $|z-1|=|z+1|$ 的所有复数 $z$。

设 $z=x+iy$。两边都是非负长度，平方等价，得 $(x-1{)}^2+y^2=(x+1{)}^2+y^2$，所以 $x=0$。任取实数 $y$，代入 $z=iy$，两侧都等于 $\sqrt{1+y^2}$。

结果：虚轴 $\{iy:y\in \mathbb{R}\}$。

平方或交叉相乘后必须恢复原分母禁值。只推出直线方程还不够，还要证明直线上的每一点都满足原条件。

同余表示两个整数除以指定正整数后的余数相同。用同余筛选只能给出原方程的必要条件。

整数方程中某个模数下可行余数很少时使用。

1. (1)

   选择小模数，列完所有可能余数。

2. (2)

   计算各项余数，排除冲突的候选。

3. (3)

   对留下的数回原方程检查，不能把同余当等式。

自编小例：证明整数方程 $x^2=4y+3$ 无解。

整数模 $4$ 的余数为 $0,1,2,3$，平方余数依次为 $0,1,0,1$。右边模 $4$ 恒为 $3$，与所有平方剩余冲突。

结果：无整数解。

只列几个平方数不算穷尽余数。合并多个同余时必须核模数是否互素，非互素情形要另外检查相容性。

椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于长轴长。焦点距离是实际非负长度，必须保留曲线的支和参数范围。

圆锥曲线特有的焦点距离关系能消去距离时使用。

1. (1)

   核标准方程、半轴和焦点。

2. (2)

   用相应曲线定义或已证明的焦半径公式。

3. (3)

   联立其他条件，检查候选点在原曲线上且距离非负。

自编小例：椭圆 $x^2/25+y^2/9=1$ 的右顶点到两焦点的距离各是多少？

半长轴 $a=5$，半短轴 $b=3$，焦距参数 $c=\sqrt{25-9}=4$。两焦点为 $(-4,0),(4,0)$，右顶点为 $(5,0)$，距离为 $9,1$，和为 $10=2a$。

结果：两段距离为 $9$ 和 $1$。

双曲线使用距离差的绝对值，不能套椭圆的距离和。仅出现焦点坐标不代表已经使用焦点距离关系。

共轭复数把虚部变号。$z\overline{z}=|z{|}^2$，因此非零复数的倒数可写成共轭除以模平方。

分母有复数，或共轭成对可提取实部时使用。

1. (1)

   辨明真正的共轭对，并核要除的量非零。

2. (2)

   用模平方化简乘积或分母。

3. (3)

   把实虚部写出，乘回原数检查。

自编小例：求 $1/(2+i)$。

分子分母同乘 $2-i$，分母为 $(2+i)(2-i)=4+1=5$，所以倒数为 $(2-i)/5$。乘回得 $(2+i)(2-i)/5=1$。

结果：$\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$。

只有模等于一时，倒数才等于共轭。一般复数不能漏掉模平方这个分母。

单位根是满足 $z^n=1$ 的复数。有限等比恒等式可把一个多项式方程连接到单位根，但乘入的因子可能带来多余根。

多项式有等比结构或可逆分式换元后出现单位根时使用。

1. (1)

   写出等比恒等式并登记乘入的因子。

2. (2)

   列单位根，排掉不满足原式的点。

3. (3)

   若使用换元，写反变换并逐个回验。

自编小例：解复数方程 $z^2+z+1=0$。

由 $(z-1)(z^2+z+1)=z^3-1$，原根必须满足 $z^3=1$。$z=1$ 代原式得 $3$，须排除。其余两根为 $(-1+i\sqrt{3})/2$ 与 $(-1-i\sqrt{3})/2$，均满足原式。

结果：$z=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$。

乘入一个可能为零的因子会增根。分式换元还要排原分母为零的点，并证明反变换可用。

导数描述函数的局部变化，差分描述相邻数列项的变化。在同一个合法区间内，变化量的符号控制单调方向。

需要比较端值或证明单调时使用。

1. (1)

   写出真实连续区间或下标段。

2. (2)

   计算导数或相邻差，判断各段的符号。

3. (3)

   利用单调性比较边界，并单独核断点和开端点。

自编小例：求 $f(x)=x^3-3x$ 在 $[1,2]$ 上的最大值和最小值。

$f^{\prime }(x)=3x^2-3$，在 $(1,2]$ 为正，因此 $f$ 在 $[1,2]$ 严格递增。端点给 $f(1)=-2,f(2)=2$。

结果：最小值 $-2$，最大值 $2$。

不连通的定义域不能跨断点直接比较。用高阶导数回推时，要保留每一层所需初值。

固定点的导数是一个常数。若函数表达式里也含这个常数，求导后再代固定点，必须得到同一个值。

表达式含 $f^{\prime }(c)$，却又定义了 $f$ 本身时使用。

1. (1)

   把固定点导数记为常数 $a$。

2. (2)

   对自变量求导，代固定点列自洽方程。

3. (3)

   解出 $a$，恢复函数并反算导数。

自编小例：已知 $f(x)=x^2+\frac{1}{2}{f}^{\prime }(1)x$，求 $f(x)$。

设 $a=f^{\prime }(1)$，则 $f^{\prime }(x)=2x+a/2$。代 $x=1$ 得 $a=2+a/2$，所以 $a=4$。恢复 $f(x)=x^2+2x$，它的导数在 $1$ 处确为 $4$。

结果：$f(x)=x^2+2x$。

求导时 $f^{\prime }(1)$ 不是随 $x$ 变化的量。自洽方程退化时不能强除零系数。

二维行列式 $u_x{v}_y-u_y{v}_x$ 的绝对值是两向量张成的平行四边形面积，三角形面积是它的一半。

坐标给定的面积或线性变换前后的面积比需要计算时使用。

1. (1)

   确认区域边界和维数，取同起点边向量。

2. (2)

   计算行列式或相应体积乘积。

3. (3)

   取绝对值并恢复三角形等常数因子和变换倍率。

自编小例：三角形顶点为 $(0,0),(2,0),(1,3)$。把每点变为 $(2x,y)$，面积怎样变化？

原面积为 $|2\times 3-0\times 1|/2=3$。变换矩阵的行列式为 $2$，新顶点为 $(0,0),(4,0),(2,3)$，新面积为 $|4\times 3|/2=6$。

结果：面积由 $3$ 变为 $6$，扩大 $2$ 倍。

一般仿射变换不保持角和长度。三维体积与二维面积的常数因子不同，不能混用。

点积为零表示两个非零向量垂直。以固定两点为直径的圆上，其余点看这条直径的张角是直角。

形如 $(P-A)\cdot (P-B)=0$ 的动点条件时使用。

1. (1)

   先排除使所需方向为零的端点。

2. (2)

   以中点为中心展开点积，化为平方和。

3. (3)

   从圆上任意保留点反代，确认是完整轨迹。

自编小例：设 $A=(-1,0),B=(1,0)$，$P\ne A,B$ 且 $PA\perp PB$。求 $P$ 的轨迹。

令 $P=(x,y)$。垂直条件是 $(x+1,y)\cdot (x-1,y)=x^2+y^2-1=0$。反过来圆上除 $A,B$ 的任意点都给两个非零且点积为零的向量。

结果：圆 $x^2+y^2=1$ 去掉 $(-1,0),(1,0)$。

零向量不能用来定义直角。只证明点落在圆上还不够，完整轨迹还要反向验证所有保留点。

位值把一个数写成各位数码乘对应的十进制幂。上界计数可按首次小于上界的那一位分组。

数码受限，并且有位数或非完整上界限制时使用。

1. (1)

   固定长度，先排首位零。

2. (2)

   从高位比较上界，分成仍相等和已经小于两类。

3. (3)

   对自由后缀计数，最后核边界数和进位条件。

自编小例：各位只用 $0,1,2$，小于 $210$ 的三位正整数有多少个？

百位为 $1$ 时已经小于上界，十位个位各有 $3$ 选，共 $9$ 个。百位为 $2$ 时十位只能为 $0$，个位为 $0,1,2$，共 $3$ 个。十位为 $1$ 时最小已是 $210$，不能取。

结果：共 $12$ 个。

首位零会使数的位数改变。某前缀仍等于上界时，后续数位不能当作完全自由。

二面角由两指定半平面确定。沿交棱作垂直截面后，朝向这两个半平面的射线夹角就是所求角。

需要保留半平面方向来计算二面角时使用。

1. (1)

   在交棱同一点选朝向两半平面的向量。

2. (2)

   减去沿交棱的投影，得到两条垂棱射线。

3. (3)

   保留点积符号，计算普通角并回核方向。

自编小例：交棱为 $z$ 轴。两半平面分别含从原点出发的方向 $(1,0,2)$ 和 $(1,1,-3)$，求它们的二面角。

减去各自的 $z$ 分量得垂棱方向 $u=(1,0,0),v=(1,1,0)$。它们朝向原指定半平面，且 $\cos \theta =(u\cdot v)/(|u||v|)=1/\sqrt{2}$。

结果：二面角为 $\pi /4$。

不能把无向的锐面角直接当指定二面角。把某一条射线反向会把角换成补角。

生成多项式用幂次记录数量或总重，用系数记录生成方式数。独立局部选择对应多项式相乘。

不同位置的选择可分开，但总配额要在最后合并时使用。

1. (1)

   给每个局部选择写一个单项式。

2. (2)

   把各处的局部和相乘，保留真实重数。

3. (3)

   取目标幂次的系数，并用对象解释每一项。

自编小例：从权重为 $1,2,3$ 的三个不同物品中任选，选出总重为 $3$ 有多少种方式？

每件物品可不选或选一次，生成式为 $(1+t)(1+t^2)(1+t^3)$。$t^3$ 来自选重 $3$ 的物品，或选重 $1,2$ 的两件，系数为 $2$。

结果：$2$ 种。

有总配额时不能只乘局部选择数。系数数的是生成方式，若题目要求不同数值，还要判断是否重复。

下包络是若干函数逐点取最小值，上包络则逐点取最大值。优化包络要让全部分支都服从同一个界。

目标含最小值的最大化，或最大值的最小化时使用。

1. (1)

   先辨是下包络求最大还是上包络求最小。

2. (2)

   找能给统一界的分支，求可能平衡点。

3. (3)

   检查其余分支和输入域，验证统一界可以取到。

自编小例：求 $\min \{x,6-x,4\}$ 在 $0\le x\le 6$ 上的最大值。

$x$ 与 $6-x$ 的平均为 $3$，两者至少一个不超过 $3$，故目标不超过 $3$。取 $x=3$ 时三项为 $3,3,4$，最小值确为 $3$。

结果：最大值为 $3$，在 $x=3$ 取到。

让两项相等只产生候选点。未选中的第三项可能更小，必须逐项检查。

等距条件平方后相减，可消去中心坐标的公共平方项，留下线性方程。

已知几个点到同一中心等距，需要求圆心或球心时使用。

1. (1)

   在正交等尺度坐标中写各距离平方。

2. (2)

   相减求中心位置。

3. (3)

   代回原距离恢复半径，核全部点及非退化条件。

自编小例：求过 $(0,0),(4,0),(0,6)$ 三点的圆心和半径。

设圆心为 $(h,k)$。到前两点距离平方相等，得 $8h=16$，所以 $h=2$。比较第一点与第三点得 $12k=36$，所以 $k=3$。半径平方为 $2^2+3^2=13$，三点不共线。

结果：圆心 $(2,3)$，半径 $\sqrt{13}$。

只解差式后仍要代回恢复半径。三点平面求圆心要核不共线，四点求球心才需要核不共面。

正交等尺度坐标使用互相垂直、单位相同的坐标轴，普通距离平方才能直接写成分量平方和。

真实几何的垂直、长度和位置关系便于坐标表达时使用。

1. (1)

   用几何条件选择基点和垂直坐标轴。

2. (2)

   把已知边长或位置写成坐标，再求目标分量。

3. (3)

   代回几何条件，若曾归一长度则恢复尺度。

自编小例：在矩形 $ABCD$ 中，$AB=4,BC=3$，求对角线 $AC$。

取 $A=(0,0),B=(4,0)$，以 $AB$ 和 $AD$ 为垂直坐标轴。由矩形条件得 $C=(4,3)$，所以 $AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$。

结果：$AC=5$。

斜坐标的分量不能直接套勾股公式。坐标化还要核几何对象存在，不能只得到一组形式上的代数解。

等距变换保持点间距离，反射就是关于某直线或平面的镜像。把折线的一端反射，可把两段长度之和变成同一折线的长度。

对称关系能压缩构型或解决折线路径最短时使用。

1. (1)

   指定反射轴或旋转中心，写清变换方向。

2. (2)

   利用保长把目标换成变换后的距离。

3. (3)

   检查直线路径能否穿过合法区域，并反建取等点。

自编小例：点 $A=(1,2),B=(5,2)$，$P$ 在 $x$ 轴上，求 $PA+PB$ 的最小值。

把 $A$ 反射为 $A^{\prime }=(1,-2)$，则 $PA=P{A}^{\prime }$。由三角不等式，$P{A}^{\prime }+PB\ge A^{\prime }B=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。线段 $A^{\prime }B$ 与 $x$ 轴交于 $(3,0)$，此点合法且可取等。

结果：最小值 $4\sqrt{2}$，在 $P=(3,0)$ 取到。

一般伸缩不保长。反射后得到的直线路径若不经过合法线段，就不能直接声称取到了最小值。

把整数方程添项配成两个整数因子的积，便可用有限的因数对穷尽候选。

双变量方程含乘积与一次项时使用。

1. (1)

   配成因子积，记录整数、正负及非零条件。

2. (2)

   列出符合条件的全部因数对。

3. (3)

   反解原变量，逐一代回并核有序性。

自编小例：求正整数有序对 $(x,y)$，使 $xy+x+y=11$。

两边加 $1$ 得 $(x+1)(y+1)=12$。两因子都至少为 $2$，有序因数对为 $(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$。各减 $1$ 得 $(1,5),(2,3),(3,2),(5,1)$，代回均为 $11$。

结果：共四对：$(1,5),(2,3),(3,2),(5,1)$。

要求有序对时，交换因子通常得到另一个解。若允许负整数，不能只列正因数对。

有限穷尽先证明候选数量有限，再逐个检查。去重是把不同参数生成的同一个对象只保留一次。

候选可被明确上界或有限类型限制时使用。

1. (1)

   从原条件证明一个停止界。

2. (2)

   逐个检查有限候选，并回到原对象。

3. (3)

   合并重复对象，确认无漏支后计数。

自编小例：不超过 $50$ 的正整数平方中，有多少个能被 $3$ 整除？

正平方写成 $n^2$，可取正根 $1\le n\le 7$，因为 $7^2=49<50<64=8^2$。$3$ 整除 $n^2$ 当且仅当整除 $n$，所以只有 $n=3,6$。正根表示唯一。

结果：有 $2$ 个，分别为 $9,36$。

不能用试到某个数仍无新解替代停止证明。使用正负两个平方根生成平方时必须去重。

固定有限个幂项中，模小于一的底数会衰减，底数为一会保留，底数为负一会随奇偶振荡。

研究固定有限幂和的极限时使用。

1. (1)

   逐项判断底数的模与正负。

2. (2)

   把衰减项、常值项和振荡项分开。

3. (3)

   若有振荡，检查不同子列是否给不同极限。

自编小例：数列 $a_n=2^{-n}+1+(-1{)}^n$ 是否收敛？

$2^{-n}$ 趋零。偶数项满足 $a_{2k}=2^{-2k}+2\to 2$，奇数项满足 $a_{2k+1}=2^{-(2k+1)}\to 0$。两个子列极限不同。

结果：不收敛。

底数模为一不代表幂趋零。若幂和的项数随 $n$ 增长，不能直接套固定有限项的逐项极限规则。

集合只记录不同元素，不保留重复次数。集合相等要求每个元素都能在另一边找到。

两边有限集合含参数，且有特殊元素能定位对应时使用。

1. (1)

   列定义域和可能重复的情形。

2. (2)

   用特殊元素确定对应，互异时再比较整体量。

3. (3)

   把全部候选代回原集合，合并重复值。

自编小例：求实数 $a$，使 $\{a,1\}=\{a^2,1\}$。

若 $a=1$，两边同为 $\{1\}$。若 $a\ne 1$，左边元素 $a$ 在右边不能等于 $1$，故必须 $a=a^2$，得到 $a=0$ 或 $1$；本支只留 $0$。代回 $a=0$，两边同为 $\{0,1\}$。

结果：$a=0$ 或 $a=1$。

不能把集合当成保留重数的多重集。比较元素和以前必须先核两边是否有重复元素。

整数部分 $\lfloor x\rfloor$ 是不超过 $x$ 的最大整数，因此 $\lfloor x\rfloor =m$ 等价于 $m\le x<m+1$。

条件含多个取整值或取等整性时使用。

1. (1)

   把每个取整等式展开成半开区间。

2. (2)

   合并区间或整数条件，缩小候选。

3. (3)

   代回所有原取整式，逐端点核开闭。

自编小例：求满足 $\lfloor x\rfloor =2$ 且 $\lfloor 2x\rfloor =5$ 的实数 $x$。

第一个条件给 $2\le x<3$，第二个给 $5\le 2x<6$，即 $5/2\le x<3$。取交集得 $[5/2,3)$。左端取整为 $2,5$，右端 $3$ 的取整为 $3,6$，不可取。

结果：$x\in [5/2,3)$。

小数部分的上界是严格小于一，不能闭合右端。涉及等号比例时必须先证原不等式确实取等。

输入轨道是按给定输入变换反复得到的输入组。把同一轨道的函数值当未知数，可以联立原方程。

方程同时出现 $f(x),f(-x),f(1/x)$ 等关联输入时使用。

1. (1)

   追踪输入变换，检查每个输入都在定义域。

2. (2)

   在同一轨道上重用原式，列函数值方程。

3. (3)

   解出目标值，并把所得函数代回全部原式。

自编小例：实函数满足 $f(x)+2f(-x)=3x$，求 $f(x)$。

把 $x$ 换成 $-x$，得 $f(-x)+2f(x)=-3x$。设 $A=f(x),B=f(-x)$，第一式的两倍减第二式得 $3B=9x$，所以 $B=3x,A=-3x$。代回 $-3x+2(3x)=3x$，包括 $x=0$。

结果：$f(x)=-3x$。

输入闭环不保证方程一定线性或有唯一解。不能擅自约去可能为零的输入系数。

周期平移保持函数值，反周期平移则使函数值变号。两次相同的反周期平移才恢复原值。

函数关系含固定平移、变号或倒数作用时使用。

1. (1)

   复合输入平移，并同步记录函数值的变化。

2. (2)

   找真正保持值的平移长度。

3. (3)

   按整段与余段还原目标，不把变号平移当普通周期。

自编小例：已知 $f(x+2)=-f(x)$ 且 $f(1)=3$，求 $f(7)$。

连续平移两次给 $f(x+4)=f(x)$。从 $1$ 到 $7$ 是三次长度 $2$ 的平移，函数值依次为 $3,-3,3,-3$，所以 $f(7)=-3$。

结果：$f(7)=-3$。

长度 $2$ 在此只是反周期，不是普通周期。证得一个周期不代表已经证得最小正周期。

函数方程的代数解耦，是用多次代入与加减组合消掉较复杂的函数值，保留可解的代数关系。

加法、乘法或两函数关系能用不同展开方式相互约束时使用。

1. (1)

   先代零和单位，保留可能的零函数分支。

2. (2)

   对同一个表达式作两种合法展开并消元。

3. (3)

   恢复目标值或候选函数，回代原关系。

自编小例：实函数满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$、$f(xy)=f(x)f(y)$ 且 $f(1)=1$。求 $f(3/2)$。

加法式给 $f(0)=0$，$f(2)=2$，$f(3)=3$。乘法式应用于 $2\cdot (3/2)=3$，得到 $3=f(2)f(3/2)=2f(3/2)$。函数 $f(x)=x$ 也说明这些条件相容。

结果：$f(3/2)=3/2$。

没有条件时不能擅加连续性。若不知 $f(1)$ 非零，约去函数值之前必须保留零分支。

最大公因数提出后，剩下两个整数互素。互素是指最大公因数为一，这时最小公倍数就是两数乘积。

最大公因数与最小公倍数同时出现时使用。

1. (1)

   设原数为公因数乘互素余部。

2. (2)

   把最小公倍数改写成公因数乘余部乘积。

3. (3)

   列互素因数对，恢复原数并核顺序与重复。

自编小例：求正整数有序对 $(a,b)$，使 $\gcd (a,b)=6$、$\mathrm{lcm}(a,b)=36$。

设 $a=6u,b=6v$，其中 $\gcd (u,v)=1$。最小公倍数为 $6uv=36$，故 $uv=6$。互素有序因数对是 $(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)$。乘回 $6$ 后逐对最大公因数均为 $6$。

结果：$(6,36),(12,18),(18,12),(36,6)$。

不互素时最小公倍数不是两数乘积。参数可交换时要按原题区分有序和无序，避免重复或漏计。

定积分等于曲线下有向面积；函数非负时才是普通区域面积。识别圆弧等边界后可直接用几何面积计算。

根式曲线等能识别成已知区域时使用。

1. (1)

   确认积分区间内函数非负，并写真实边界。

2. (2)

   识别扇形、三角形等区域。

3. (3)

   计算面积，核端点、半径和倍率。

自编小例：计算 ${\int }_0^2\sqrt{4-x^2}dx$。

曲线 $y=\sqrt{4-x^2}$ 是圆 $x^2+y^2=4$ 的上半圆。在 $0\le x\le 2$ 下方的区域恰为第一象限四分之一圆盘，半径为 $2$，面积为 $\pi \cdot 2^2/4$。

结果：积分为 $\pi$。

有负函数值时，积分含有负的有向面积。只看到根式还不能判整圆，必须核区间和实际弧段。

精确参数化用一个有明确范围的实数代表原来所有合法对象，并且每个保留参数都能恢复原对象。

约束能消去一个自由变量，目标要取全局界时使用。

1. (1)

   从原约束选择参数并推出真实范围。

2. (2)

   写反向恢复式，证明没有遗漏或多出对象。

3. (3)

   在全域比较候选，恢复取等或逼近构型。

自编小例：正数 $x,y$ 满足 $x+y=2$，求 $xy$ 的最大值。

令 $t=x$，则 $y=2-t$，真实范围为 $0<t<2$；每个这样的 $t$ 都给合法正数对。目标为 $t(2-t)=1-(t-1{)}^2\le 1$，且 $t=1$ 在范围内，对应 $x=y=1$。

结果：最大值为 $1$。

参数的必要范围不一定就是精确范围。若界只在开端点达到，应说明是上确界或下确界，不能称已取到最大最小。

图用顶点表示对象，用边表示两对象之间的关系。独立集是一组内部没有边连接的顶点。

禁配关系能完全由两两关系表达时使用。

1. (1)

   定义顶点和每条边对应的原约束。

2. (2)

   证明原合法选择与图中选择双向对应。

3. (3)

   按真实图结构计算，并把结果解释回原问题。

自编小例：从 $\{1,2,3,4\}$ 选两个不同数，不许相邻整数同时出现，有多少种选法？

用四个数作顶点，只在 $1,2$、$2,3$、$3,4$ 之间连边。合法选法恰是两个顶点的独立集。从全部 $6$ 对中去掉三条边，剩 $\{1,3\},\{1,4\},\{2,4\}$。

结果：$3$ 种。

只画出图还没有证明模型等价。有方向、重边或三者共同的限制时，不能自动用这个简单图模型代替。

令 $t=\tan (x/2)$ 可将 $\sin x$ 与 $\cos x$ 写成 $2t/(1+t^2)$ 和 $(1-t^2)/(1+t^2)$，这叫半角有理化。

三角方程可转成低次有理方程时使用。

1. (1)

   先写原角域和半角正切的真域。

2. (2)

   代入半角公式，保留分母禁值。

3. (3)

   解参数后反求全部合法角，并代回。

自编小例：解 $\sin x=4/5$，其中 $0<x<\pi$，用半角参数表示答案。

本域给 $t=\tan (x/2)>0$，且一一对应。$2t/(1+t^2)=4/5$ 化为 $2t^2-5t+2=0$，因式分解得 $(2t-1)(t-2)=0$。两正根 $t=1/2,2$ 都合法。

结果：$x=2\arctan (1/2)$ 或 $x=2\arctan 2$。

原角跨越半角正切的极点时，必须分段。约分后不能把原来分母为零的角补进答案。

同频率的正弦与余弦可合成一个相位平移后的波。振幅是合成后的系数大小，相位决定横向位置。

同一频率的正余弦线性组合要求值域或对称性时使用。

1. (1)

   先把频率统一，必要时降幂。

2. (2)

   用系数确定振幅与相位，再反展开核符号。

3. (3)

   在原角域核取等点；零振幅、零频率单列。

自编小例：求 $3\cos x+4\sin x$ 在实数域的最大值。

取第一象限角 $\varphi$，使 $\cos \varphi =3/5,\sin \varphi =4/5$。原式为 $5\cos (x-\varphi )$，所以不超过 $5$。取 $x=\varphi$ 时达到。

结果：最大值为 $5$。

振幅不是频率。相位的正负要通过反展开核验，限制角域时不能直接采用全实数域的取等点。

指示变量在事件发生时等于一，否则为零。把总数写成指示变量的和，期望就等于各事件概率的和。

总贡献可按元素、位置或事件分开累计时使用。

1. (1)

   定义每个有身份的贡献或指示变量。

2. (2)

   交换有限求和，或应用期望的线性性。

3. (3)

   核每项权重和重复次数，回到原目标。

自编小例：投三枚硬币，每枚出现正面的概率都是 $1/2$，不要求相互独立。正面枚数的期望是多少？

令 $I_j$ 表示第 $j$ 枚是否正面，正面总数为 $X=I_1+I_2+I_3$。各 $E(I_j)=1/2$，故 $E(X)=1/2+1/2+1/2=3/2$，这一步不使用独立性。

结果：期望为 $3/2$ 枚。

期望相加不要求独立，但联合事件概率不能因此相乘。双计数时，同一关联两边都必须恰好数一次。

容斥先相加各类数量，再扣掉被重复计算的交集。补集法则是在统一全集中减去不合要求的对象。

至少一个条件成立或要求避开多个坏事件时使用。

1. (1)

   指定全集和各事件。

2. (2)

   计算单个事件及必要的交集，交替加减。

3. (3)

   核相交对象的重数，以及概率是否等可能。

自编小例：$1$ 到 $30$ 中，能被 $2$ 或 $3$ 整除的整数有多少个？

能被 $2$ 整除有 $15$ 个，能被 $3$ 整除有 $10$ 个。两类交集是 $6$ 的倍数，有 $5$ 个，刚才各数了两遍，所以总数为 $15+10-5$。

结果：$20$ 个。

两个相交的坏事件不能不作交集修正就直接相减。概率情形还要核样本权重，独立性不能默认。

下标商链是把下标反复除以某个基数，跟踪商和余数。按余数递推的数列常能沿这条链还原。

递推取决于下标的奇偶、数位或复制分块时使用。

1. (1)

   确认分支判断依据是下标而非项值。

2. (2)

   按商和余数逐层折回基础下标。

3. (3)

   按原递推累积贡献，核终点与块边界。

自编小例：设 $a_0=0$，对正整数下标用 $a_{2m}=a_m$、$a_{2m+1}=a_m+1$。求 $a_{13}$。

$13$ 为奇数，$a_{13}=a_6+1$；$6$ 为偶数，$a_6=a_3$；$a_3=a_1+1$；$a_1=a_0+1=1$。合计 $a_{13}=3$，也对应二进制 $1101$ 中三个 $1$。

结果：$a_{13}=3$。

不能把项值奇偶与下标奇偶混淆。折回后首尾下标要单独核，避免复制段错一位。

单射表示相同函数值只能来自相同输入。严格递增函数还是保序的，输入变大时输出也严格变大。

复合关系能在合法输入处再次代入时使用。

1. (1)

   先证单射和复合输入的合法性。

2. (2)

   重用原式，制造可比较的复合值。

3. (3)

   利用输入顺序或消外层，最后检验候选。

自编小例：严格递增函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 满足 $f(f(x))=x$，证明 $f(x)=x$。

若 $f(x)>x$，严格递增给 $f(f(x))>f(x)$，即 $x>f(x)$，矛盾。若 $f(x)<x$，同理得 $x<f(x)$，仍矛盾。因此对每个 $x$ 都只有 $f(x)=x$；恒等函数确实满足条件。

结果：$f(x)=x$。

递减函数可能有非平凡二周期，例如 $f(x)=-x$。不能把递增情形的结论直接移用。

唯一表示既保证参数不重复生成同一元素，也要保证目标集合中的每个元素都能生成。

集合很大，但生成规则有单调性或位值结构时使用。

1. (1)

   明确参数真域和生成式。

2. (2)

   证明不同参数不能给相同值。

3. (3)

   从任意目标元素反解参数，证明覆盖后再计数或求和。

自编小例：求集合 $S=\{2a+b:a\in \{0,1,2,3\},b\in \{0,1\}\}$。

任意生成值都在 $0$ 到 $7$。反过来每个整数 $n$ 在此范围可唯一写成 $a=\lfloor n/2\rfloor ,b=n-2a$，其中 $0\le a\le 3,b\in \{0,1\}$。余数唯一也说明无重复。

结果：$S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$，有 $8$ 个元素。

只证没有重复不能证明区间没有缺口。非单射参数的求和不能直接当集合元素的求和。

双线性表示对每个输入分别满足加法与倍数分配。欧氏内积就是一种对称双线性运算，展开长度平方可提取交叉项。

已知几个向量长度，要恢复内积或二次量时使用。

1. (1)

   确认所用二次量及其对应双线性型。

2. (2)

   展开和差的平方，分离交叉项。

3. (3)

   代入已知量，回验符号及可实现性。

自编小例：已知 $|u|=3,|v|=4,|u+v|=\sqrt{37}$，求 $u\cdot v$。

由 $|u+v{|}^2=|u{|}^2+2u\cdot v+|v{|}^2$，得 $37=9+2u\cdot v+16$，所以 $u\cdot v=6$。它满足 $|6|\le 3\times 4$，例如取夹角余弦为 $1/2$ 即可实现。

结果：$u\cdot v=6$。

不定二次型可能取负值，不能自动当作长度平方。极化恒等式本身不赋予普通角或柯西不等式。

累计计数表示不超过某个阈值的合法对象数。定位第几项时，要找累计数第一次达到指定名次的位置。

周期筛选、取整分层或合并序列要求排名时使用。

1. (1)

   写出完整块及尾块的精确计数。

2. (2)

   用累计数夹住目标名次。

3. (3)

   检查候选与前一个阈值，合并序列时先去重。

自编小例：把不能被 $3$ 整除的正整数从小到大排列，求第 $10$ 项。

不超过 $m$ 的合法数有 $C(m)=m-\lfloor m/3\rfloor$ 个。$C(13)=13-4=9$，$C(14)=14-4=10$，且 $14$ 不是 $3$ 的倍数，所以第十项就是 $14$。

结果：第 $10$ 项为 $14$。

不能把截断尾块当完整周期。名次应以前后相邻的累计数核验，近似估计阈值可能错一项。

单调函数在一个单位区间的积分，可由区间端点函数值夹住。把这些局部比较相加，就得到离散和的界。

调和和、幂和等需要积分估计时使用。

1. (1)

   确认函数的单调方向和正域。

2. (2)

   逐个单位区间比较端点值与积分。

3. (3)

   加总并保首尾修正，最佳界另核极限和小指标。

自编小例：用积分给 $H_n=1+1/2+\cdots +1/n$ 的界，其中整数 $n\ge 2$。

$1/x$ 在正轴递减，故 ${\int }_k^{k+1}dx/x<1/k$，相加得 $\log (n+1)<H_n$。又对 $k\ge 2$，$1/k<{\int }_{k-1}^{k}dx/x$，相加得 $H_n<1+\log n$。

结果：$\log (n+1)<H_n<1+\log n$。

这里的 $\log$ 表示自然对数。无穷极限给出的最佳常数未必能在有限 $n$ 取等，首项也不能被积分替掉而不作修正。

原函数是导数等于被积函数的函数。定积分用原函数的终值减初值计算，区域面积还要先选非负的上下差。

边界已经明确，剩下计算分段面积或体积时使用。

1. (1)

   求交点并按符号及边界变化分段。

2. (2)

   写真实高度或截面积，求原函数并求导核验。

3. (3)

   终值减初值，确认结果的符号和适用区间。

自编小例：求曲线 $y=x$ 与 $y=x^2$ 在 $0\le x\le 1$ 围成的面积。

本区间 $x\ge x^2$，高度为 $x-x^2$。原函数为 $x^2/2-x^3/3$，求导确为 $x-x^2$。在 $0,1$ 代入相减得 $1/2-1/3=1/6$。

结果：面积为 $1/6$。

上下边界交换处必须分段。面积应积非负高度，不能把负积分直接当正面积。

区间的开闭决定端点是否属于集合。含有指定整数且排除相邻整数的条件，可以转成对端点的严格或非严格界。

解集包含、交集或整数点数量由端点控制时使用。

1. (1)

   写出各区间及其开闭，保留空集可能。

2. (2)

   用指定整数及相邻整数夹住端点。

3. (3)

   逐端点代回，核所有等号。

自编小例：实数 $a$ 满足闭区间 $[a,a+2]$ 中的整数恰好为 $2,3$，求 $a$。

包含 $2,3$ 给 $a\le 2$ 且 $a+2\ge 3$。排除 $1$ 给 $a>1$，排除 $4$ 给 $a+2<4$，即 $a<2$。合并为 $1<a<2$，此时区间内的确只有 $2,3$。

结果：$a\in (1,2)$。

闭端点上的整数也算在内。两个区间刚接触时，要同时检查两侧是否都包含接触点。

对合是做两次就回到原对象的变换。没有固定点的对象两两配对，有固定点时必须把它单独留下。

输入或求和指标在反射变换下成对时使用。

1. (1)

   写出保持原域的对合。

2. (2)

   找固定点，把其余对象配成二元组。

3. (3)

   计算每对的和或差，再补固定点。

自编小例：计算 ${\sum }_{k=-2}^{2}1/(1+2^k)$。

对合为 $k\mapsto -k$，固定点是 $0$。对任意 $k$，$1/(1+2^k)+1/(1+2^{-k})=1$。两对 $(-2,2),(-1,1)$ 各贡献 $1$，$k=0$ 贡献 $1/2$。

结果：总和为 $5/2$。

固定点不能再与自己算作两个对象。变换若不保持定义域，就不能直接按整组配对。

凸函数在加权平均点的值不超过函数值的加权平均；凹函数方向相反。权重必须非负且总和为一。

约束给出同一凸域内的平均值，且函数凸凹性已知时使用。

1. (1)

   核变量在同一凸域，确认凸凹方向。

2. (2)

   把约束写成合法加权平均。

3. (3)

   应用平均界，联合原约束检查取等。

自编小例：正数 $x,y$ 满足 $x+y=6$，求 $\log x+\log y$ 的最大值，$\log$ 为自然对数。

$\log t$ 在 $t>0$ 上二阶导数为 $-1/t^2<0$，严格凹。用各为 $1/2$ 的权重，得 $(\log x+\log y)/2\le \log ((x+y)/2)=\log 3$。当且仅当 $x=y=3$ 取等。

结果：最大值为 $2\log 3$。

负权不能直接套这个公式。把固定积先取对数后，仍要重新检查变换后函数的凸凹性。

常系数线性递推把后项写成前面若干项的固定倍数之和。合适的平移或倒数换元，有时能把原递推变成这种形式。

原递推线性，或有可逆换元能消去非线性时使用。

1. (1)

   先核换元所需的非零和符号。

2. (2)

   找不动点平移或其他可逆新变量，解线性递推。

3. (3)

   恢复原项并回代初值及原递推。

自编小例：设 $a_1=2,a_{n+1}=2a_n+3$，求通项及 $a_4$。

递推不动点是 $-3$，令 $b_n=a_n+3$，则 $b_{n+1}=2b_n,b_1=5$。所以 $a_n=5\cdot 2^{n-1}-3$。代初值为 $2$，且原递推两边一致，$a_4=40-3=37$。

结果：$a_n=5\cdot 2^{n-1}-3$，$a_4=37$。

倒数或比值换元必须先证分母非零。得到新递推后还要证明能恢复原数列。

对数坐标把正数的乘积变成和，把幂变成倍数。换底能把不同底数统一到同一套坐标。

正变量的幂积条件和多个对数可联立成一次方程时使用。

1. (1)

   核原底数和真数合法，选共同底数。

2. (2)

   设对数坐标，把所有约束同步改写。

3. (3)

   解坐标后用幂还原，检查原条件。

自编小例：正数 $x,y$ 满足 $xy=16$ 和 ${\log }_{2}x+{\log }_{4}y=3$，求 $x,y$。

设 $u={\log }_{2}x,v={\log }_{2}y$，第一式给 $u+v=4$，第二式给 $u+v/2=3$。相减得 $v=2$，再得 $u=2$。还原 $x=y=4$，代回乘积为 $16$，两对数为 $2,1$。

结果：$x=y=4$。

原变量为正不意味着其对数也为正。底数小于一时比较方向会变，原底数为一则根本没有定义。

实对数要求底数大于零且不等于一，真数大于零。嵌套时每一层都要合法。

去对数后的代数候选可能落到禁值时使用。

1. (1)

   逐层列底数、真数和分母限制。

2. (2)

   在合法域内去对数或分类比较。

3. (3)

   把每个候选代回全部原限制及原式。

自编小例：解 ${\log }_{x-1}(5-x)=1$。

定义域为 $1<x<5$ 且 $x\ne 2$。在此域内，对数等于一等价于真数等于底数，所以 $5-x=x-1$，得 $x=3$。此时底数与真数都为 $2$，原式成立。

结果：$x=3$。

真数为零也不合法。嵌套对数不能只检查最外层，去对数后尤其要排底数为一的候选。

匹配是一组不共享端点的配对。增广通过沿交替链替换旧配对，使已配任务数增加一。

任务和有限名额间有合法配对限制时使用。

1. (1)

   把任务与名额写成两部图，容量拆成有身份的名额。

2. (2)

   寻找未匹配任务到空名额的交替链。

3. (3)

   翻转链上的配对，确认数量增加并恢复原任务分配。

自编小例：三个任务 $A,B,C$ 可用名额分别为 $\{1,2\},\{1\},\{2,3\}$。已有 $A\to 1,C\to 3$，怎样配齐？

任务 $B$ 只能用 $1$，但 $A$ 还能改用空名额 $2$。沿 $B,1,A,2$ 替换，删去 $A\to 1$，加入 $B\to 1,A\to 2$，保留 $C\to 3$。匹配数从 $2$ 增到 $3$。

结果：$A\to 2,B\to 1,C\to 3$。

只检查每个任务有名额不保证整体配得齐。一般图的两两配齐问题不能直接套二部图的 Hall 邻集条件。

非退化分式线性变换形如 $(az+b)/(cz+d)$，其中 $ad-bc\ne 0$。它有反变换，但分母为零的点必须删去。

复平面的圆或直线经过分式变换求像时使用。

1. (1)

   登记原极点，并确认变换非退化。

2. (2)

   解出反变换，代入原圆线条件。

3. (3)

   从每个候选像点恢复原点，核缺点与禁值。

自编小例：当 $|z|=1,z\ne -1$ 时，$w=(z-1)/(z+1)$ 的像是什么？

反解 $z=(1+w)/(1-w)$，要求 $w\ne 1$。单位圆条件等价于 $|1+w|=|1-w|$，即 $\mathrm{Re}w=0$。任意纯虚 $w$ 都不等于 $1$，反解所得 $z$ 模为一，且不可能等于 $-1$。

结果：完整虚轴 $\{it:t\in \mathbb{R}\}$。

代数消元得到的整圆或直线可能带缺点。退化成常值的分式没有这种可逆性。

在模素数的系数运算中，$(1+x{)}^p$ 与 $1+x^p$ 同余。指数的 $p$ 进制数位可把大多项式拆成较小因子。

要逐个研究二项式系数模素数的余数时使用。

1. (1)

   确认模数是素数，写指数的进制分解。

2. (2)

   按素数幂同余分解多项式。

3. (3)

   比较目标系数，核端项与数位进位。

自编小例：$(1+x{)}^5$ 中哪些 $x^k$ 的系数是奇数？

模 $2$ 下，$5=4+1$，故 $(1+x{)}^5\equiv (1+x^4)(1+x)=1+x+x^4+x^5$。所以奇系数对应 $k=0,1,4,5$。原系数 $1,5,10,10,5,1$ 也核实了这一点。