2026 年中科大少年班入围考 · 第 16 题

两题都把“切线经过一个已知点”代入切线方程，得到只涉及切点局部信息的线性约束。目标随后只依赖这部分信息，因此不必继续求出全部切点坐标或整个函数。

一般函数用点斜式关联函数值与导数，椭圆用标准切线式关联切点坐标；相同的是先把切线的几何信息转为可代入的线性组合。

两题都出现一个定点的函数值或导数，但已知信息的范围不同：全体输入恒等式可以求导后回代并恢复整条函数；单点切线关系一般只能锁定局部线性组合，不能据此假设函数整体为直线。

先判断条件是全局恒等还是单点约束，再决定能否求整条解析式；局部目标并不要求也通常不允许强行确定整个函数。

先练习把切线的过点条件写成函数值与导数值的代数关系，再处理同一斜率对应两个切点的情形。两题都先用点斜式明确切线的常数项，后者还需用两条线的截距差计算距离。

前题只需一个点处的局部线性关系；后题必须确认有两个不同切点，并保留平行线距离公式中的法向量长度。

前题直接由切线经过已知点提取定点处函数值与导数值的线性关系，代入商的导数分子消元；后题在此基础上增加一步：先将函数恒等式中的定点导数设为常数，求导代回自洽解出导数值，再结合切线条件与商法则完成计算。

后题把“定点导数自洽求参”与“切线条件代入商法则”两个局部步骤串联在同一道题中。