易混 2017 年天津预赛 第 8 题 · P010463
同样从正多边形顶点中随机选点，夹角条件与矩形条件却对应不同的结构。前者固定一个顶点后数圆周步数，后者要证明所选四点能配成相对顶点对；不能把一种结构的局部搭配数直接套给另一种。
点积题只选一对顶点，矩形题选一个无序四点组；后者必须先证明形状条件与所选直径的关系，再核查重计。
培玉 · 一试
2011 年安徽预赛 · 第 8 题
F2填空题概率
设 是大于 的偶数。随机选取正 边形的 个顶点构造四边形，得到矩形的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
圆内接矩形的两条对角线都是直径；反过来，任意两条不同直径的四个端点构成矩形。
思路
因此只需选两对相对顶点。
解答
正偶数边形有 对相对顶点，每对确定一条直径。任取四个顶点共有 种等可能选择。
若四点构成矩形，每个内角都是直角，所对的圆弧为半圆，因此两条对角线都是直径。反之，任意两条不同直径的四个端点按圆周顺序连接，各内角所对的都是半圆，故都为直角，确实构成矩形。于是有利选择数恰为 ，所求概率为
复核
时有三条直径，任取两条得到三个矩形，总四点组为 个，概率为 ； 时为 ，与公式相符。正方形也属于矩形，已包含在两直径的选择中。
方法总结
随机内接四边形满足角度条件时，常可用圆周角定理把形状条件转成直径或相对顶点的组合选择；需证明条件充分必要。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
圆周角先证明矩形与两条直径的充要对应，再选两对相对顶点计数；正方形也是矩形，不能额外排除。
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