2016 年河南预赛 · 第 8 题

解答

将棱长取为1，底面中心为O，高 $AO=\sqrt{2/3}$。先考虑截面与底面的交线分别交BC、BD于E、F，令 $BE=t$、$BF=u$，$0<t,u\le 1$。坐标或余弦定理给

O到EF的距离满足

截面倾角75度等价于 $d=AO\cot 75^{\circ }$，即

若 $AE=AF$，则 $(t-u)(t+u-1)=0$。第一类 $t=u$ 给 $t=(2\pm \sqrt{k})/3$，有两个内点解；第二类 $t+u=1$ 给 $tu=(1-k)/3\in (0,1/4)$，也有两个有序内点解。因此每个底面顶角对应4个A为等腰顶点的截面，三角合计12个。若 $AE=EF$，计算得 $(u-1)(u+1-t)=0$，只能 $u=1$，也就是截面经过底面顶点D；另一种 $AF=EF$ 同理。固定底面顶点D后，令E在对边BC内，倾角方程为 $(1-2t{)}^2=k(t^2-t+1)$。令 $w=t(1-t)$，得 $w=(1-k)/(4-k)\in (0,1/4)$，有两个截面。三个底面顶点共6个，未与前12个重合。故总数为