2026 年上海预赛

解答

先说明三组对棱分别相等。若 $a,b,c$ 两两不同，则每种长度在四个面中共出现四次； 每条棱属于两个面，故每种长度恰有两条棱。这两条棱不能同在一个面中，只能互为对棱。 若 $a,b,c$ 中恰有两个相等，则那个只出现一次的面边长同理对应一组相等对棱， 其余四条棱长度相等；三者全等时结论显然。于是可把四面体记为 $ABCD$，使

以 $A$ 为原点，记

由三组对棱相等，分别平方可得

四面体重心 $G$ 的位置向量为

例如，由 (1) 有

同理 $GA=GC=GD$，故 $G$ 是外接球球心。于是

因此