2012 年安徽预赛 · 第 5 题

解答

两椭圆的两分母之差分别为 $t-4$ 和 $t^2-4t+2$。共同焦点要求长轴方向相同且焦半距相等，故有符号的差也相等：

$t=2$ 时第二式的分母 $t^2+t-7=-1$，不能表示椭圆，舍去。 $t=3$ 时两式分母分别为 $(13,14)$ 与 $(4,5)$，均为正，长轴均为 $y$ 轴且焦半距均为 $1$，满足条件。因此 $\boxed{t=3}$。