2018 年辽宁预赛 · 第 8 题

解答

写 $A=(t,t^2+1),B=(s^2+1,s)$。有 $y_A-x_A=(t-1/2{)}^2+3/4\ge 3/4$，$y_B-x_B=-(s-1/2{)}^2-3/4\le -3/4$。所以沿单位方向 $(-1,1)/\sqrt{2}$ 的投影差至少为 $3/(2\sqrt{2})$，点距不小于此数。取 $t=s=1/2$，即 $A=(1/2,5/4),B=(5/4,1/2)$，其连线正沿该法向，达到投影界。因此 $\boxed{\min AB=3\sqrt{2}/4}$。