同一骨架 2023 年上海高中数学竞赛（高三卷） · P006750
两题都先抽出公共尺度，把剩余参数约成互素的本原部分，再用整除关系和大小界限把无限搜索压缩成有限分类。分类完成后还要恢复公共尺度，核原整数条件。
等比数列把既约分母的幂吸收到首项中；最大公因数题则把两个整数同时除去公因子。两种归一化都不能把尺度与本原参数混在一起枚举。
培玉 · 一试
2025 年广州预赛
最大公约数与最小公倍数方程
F3填空题数论
两个正整数 （）满足
其中 表示 的最大公约数， 表示 的最小公倍数。记 ，则所有 的取值之和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先提出最大公约数，把 写成互素部分，可把原式化为一个很强的整除条件，随后只需处理很小的整数范围。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
设
则 。代入原式并除以 ，得
即
因此
若 ，则由 有
不可能。于是只需考察 。
当 时，，故 ，从而
对应 ，得到 。
当 时，，故 ；结合 及 ，只能有 。此时 ，对应 ，得到 。
所以所有 的取值之和为
复核
三组 代回原式分别成立； 的所有整除可能均已枚举， 又由严格大小关系排除，分类穷尽。
方法总结
最大公约数与最小公倍数同时出现时，标准代换是 。化简后若得到“大数整除小数”，即可迅速压缩互素参数的范围。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是提取公约数后得到 xy 整除 x+y+1，再用 x<=y 排除 x>=3；缩为 x=1、2 后仅需常规整除分类。
联系 · 2 条
垫脚石（此题 → 相关题） 2025 年贵州预赛 · P006268
两题都先提出最大公因数，把原整数对化为互素部分，最小公倍数才能写成简单乘积。进一步计不同输出时，还需证明能从输出恢复互素参数，不能把参数组合数直接当成不同值个数。
前题的整除和大小关系很快压成少量数对；后题保留多个因数层，必须另查层间是否重计。
已记下，谢谢！