2022 年四川预赛

解答

（1）以 $M$ 为原点，以平行于 $AB$ 的方向为 $x$ 轴正方向，以由 $M$ 指向 $N$ 的方向为 $y$ 轴正方向。于是

设

由 $M^{\prime }P\perp CD$，可设 $P=(t,y)$。折痕 $l$ 是 $M{M}^{\prime }$ 的垂直平分线，而 $P\in l$，所以

平方得

即

反过来，对每个 $t\in [-4,4]$，上述点 $P$ 恰是过 $M^{\prime }$ 的垂线与 $M{M}^{\prime }$ 垂直平分线的交点。因此曲线 $E$ 为抛物线弧

（2）设 $F=(0,f)$。由

及 $\overrightarrow{FN}=-3\overrightarrow{FM}$，得 $4-f=3f$，故

与 $E$ 有两个交点的过 $F$ 直线不是竖直线，可写为

代入 $E$ 的方程，交点横坐标满足

设 $S,T$ 的横坐标分别为 $u,v$，则

又

由 $\overrightarrow{SF}=\lambda \overrightarrow{FT}$ 得

联立 $uv=-8$，可得

由于 $S,T$ 都在抛物线弧 $E$ 上，必须有 $|u|,|v|\le 4$，故

于是

反之，任取 $\lambda \in [1/2,2]$，取异号的 $u,v$ 使 $uv=-8$、$-u/v=\lambda$，则 $|u|,|v|\le 4$，相应两点在 $E$ 上且其连线经过 $F$。因此