2012 年湖南预赛 · 第 4 题

解答

写 $z=r(\cos t+i\sin t)$，则 $1/z=(\cos t-i\sin t)/r$。记 $\omega =X+iY$，有 $X=(r+1/r)\cos t,Y=(r-1/r)\sin t$。由于 $r>1$，这给出整条椭圆，长短半轴分别为 $A=r+1/r,B=r-1/r$。其半焦距满足 $c^2=A^2-B^2=4$，故焦距 $2c=4$，选 $\boxed{\mathrm{A}}$。