2025 年广州预赛

思路

正射影公式：点 $X$ 投到过 $U$、方向向量为 $v$ 的直线上，垂足为 $U+[(X-U)\cdot v/(v\cdot v)]v$。两点所在直线的横轴截距可用二阶行列式求出，无需斜率。

想法从哪来：图上交点很多，先挑一个同时适合垂直和共点的坐标系：把底边作为横轴，高线变成竖直线，内部点只需一个高度参数。垂足可由点积投影得到，而另外两交点只涉及直线相交；将这两类计算分开，避免一开始就展开所有坐标。 待证交点在底边上，等价于两条目标直线在横轴上的截距相同。因此先用纯直线关系求一条截距，再由两个垂足求另一条，目标就成为一个有理恒等式。中间出现的共同因子不是随手约掉即可，需解释其为零时是否使题中直线或交点失去定义。保留这些非退化条件，坐标证明才能覆盖题设而不把退化图形冒当一般情形。

图中的两个垂足只涉及内积，适合把 $BC$ 作为横轴建立坐标。先用仿射交点计算求出 $MN$ 在 $BC$ 上的截距，再用正射影公式求 $F,H$，验证 $HF$ 具有同一截距。这样既保留了垂直条件，也避免追逐大量角度。