易混 2019 年中科大少年班初试 第 2 题 · P009942
把三角方程因式化为代数根后，不能把每个代数根都当成相同数量的角解，也不能随手约去可能为零的三角因子。须逐支回到指定区间，再处理端点和分支重合。
前题某个余弦根恰在极值边界，只产生一个周期内角；后题余弦零因子是独立的合法解支，剩下的正负正弦根又有不同的成对根和。
培玉 · 一试
2026 年广州预赛
三角方程解集的元素和
F2填空题三角恒等变形
已知集合
则 中所有元素之和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
方程只含 与 ，用 化为关于 的二次方程，再在给定闭区间内逐一取角。
解答
原方程等价于
即
因此
从而 或 。在 内，
故所求元素之和为
复核
把三个角分别代入原式均成立；二次方程只有 两个余弦值，且端点 均不满足原式，故没有重计或漏解。
方法总结
三角方程若只含一个三角函数及其平方，先降为代数方程；回到限定区间取角时，需同时检查 周期内的全部象限解与端点。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
统一成cosx的二次式后解出−1、−1/2，在给定完整周期内直接列三个根求和。
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