2016 年湖南预赛 · 第 10 题

解答

令 $N=4n+1$，记 $T={\sum }_{k\equiv 1(4)}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)$。四次单位根筛选给出 $4T=2^N-i(1+i{)}^N+i(1-i{)}^N$。又 $(1+i{)}^N=(-4{)}^n(1+i)$、$(1-i{)}^N=(-4{)}^n(1-i)$，所以 $4T=2^{4n+1}+2(-4{)}^n$，即 $\boxed{T=2^{4n-1}+(-1{)}^n{2}^{2n-1}}$。