2025 年中科大少年班营一 · 第 5 题

F4解答题概率

有 $1, 2, \dots, n$ 个球和 $1, 2, \dots, n$ 个盒子。按球的号码顺序从小到大把球放入盒子。一开始先把第 $1$ 号球随机放入一个盒子。在放置第 $k$ 号球时（ $k \geq 2$ ），若 $k$ 号盒子为空，则把第 $k$ 号球放入 $k$ 号盒子；若 $k$ 号盒子非空，则把第 $k$ 号球随机放入一个剩下的空盒子中。记 $X (k)$ 为第 $k$ 号球放入的盒子编号。求在条件

X (1) \neq = 1

下，

X (n) = n

的概率。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F4（会透露解法方向）

先在条件下分类首盒，再将挤占链压缩为两个特殊空盒的吸收先后，严格说明保概率交换和小规模边界。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：对称性与重复计数、状态转移与递推

专题卡：对称性

2025 年中科大少年班营一 · 第 5 题

作答

解析

思路

解答

复核

方法总结