2012 年辽宁预赛 · 第 14 题

解答

由离心率与给定点得椭圆 $x^2/4+y^2=1$。写直线 $y=kx+d$，其中 $d\ne 0$。两横坐标满足 $(1+4k^2)x^2+8kdx+4d^2-4=0$。三斜率等比给 $(k+d/x_1)(k+d/x_2)=k^2$，因此 $d(k(x_1+x_2)+d)=0$。代入根和并利用 $d\ne 0$，得 $k^2=1/4$。此时判别式条件给 $d^2<2$；两横坐标非零又要求 $d^2\ne 1$。面积为 $S=|d|\sqrt{2-d^2}$。令 $u=d^2\in (0,2)\setminus \{1\}$，就有 $S^2=u(2-u)=1-(u-1{)}^2$。故 $\boxed{S\in (0,1)}$。