2018 年湖北预赛 · 第 1 题

解答

设 $t=\sin \theta +\cos \theta$。当 $0\le \theta \le \pi /2$ 时，$1\le t\le \sqrt{2}$，且 $2\sin \theta \cos \theta =t^2-1$。原式等价于 $t^2+3-at\le 0$，因 $t>0$，即

有 $h^{\prime }(t)=1-3/t^2<0$，故此区间上的最大值为 $h(1)=4$。因此全称条件等价于 $a\ge 4$，所求最小值为 $\boxed{4}$。