2014 年河南预赛 · 第 3 题

解答

设四顶点位置向量为 $a,b,c,d$，中心为原点，故 $a+b+c+d=0$。与 $a$ 相对的面中心是 $(b+c+d)/3=-a/3$，其余三面同理。因此小四面体与原体以中心作比例 $-1/3$ 的位似，外接球半径也缩为三分之一。棱长一的正四面体高 $\sqrt{6}/3$，顶点到球心距离为高的四分之三，即 $R=\sqrt{6}/4$。小球半径为 $\sqrt{6}/12$，所以 $\boxed{V=4\pi (\sqrt{6}/12{)}^3/3=\pi \sqrt{6}/216}$。