2018 年中科大少年班初试 · 第 6 题

解答

由 $xf(x)>1$，内层 $xf(x)-1$ 始终为正。单射性与外层恒为二给出常量 $c>0$，使 $xf(x)-1=c$，所以 $f(x)=(c+1)/x$ 对全部 $x>0$ 成立。又 $f(c)=2$，取 $x=c$ 得 $(c+1)/c=2$，故 $c=1$。于是 $f(x)=2/x$ 在正半轴成立，特别有 $\boxed{f(2)=1}$。