2017 年天津预赛 · 第 14 题

解答

写 $A=(u,\sqrt{3}u),B=(v,-\sqrt{3}v)$。点积条件为 $-2uv=-2$，即 $uv=1$。中点 $M=(x,y)$ 满足 $x=(u+v)/2,y=\sqrt{3}(u-v)/2$，故 $\boxed{x^2-y^2/3=1}$。反解 $u=x+y/\sqrt{3},v=x-y/\sqrt{3}$ 即可实现全部两支。原弦的方程为 $xX-yY/3=1$。以法向量 $(x,-y/3)$ 对 $P=(-2,0)$ 作反射，利用 $y^2=3(x^2-1)$ 化简得 $Q=(2(x+1)/(2x-1),-2y/(2x-1))$。于是 $Q-M=[(2x+1)/(2x-1)]((2,0)-M)$，所以 $\boxed{MQ\text{ 恒过 }(2,0)}$。