2009 年湖北预赛 · 第 9 题

F4解答题递推数列

（14分）设数列 ${a_{n}}$ （ $n \geq 0$ ）满足 $a_{1} = 2$ ，且对 $m, n \in N$ 、 $m \geq n$ ，有

a_{m + n} + a_{m - n} - m + n = \frac{1}{2} (a_{2 m} + a_{2 n}) .

(1)
证明：对一切 $n \in N$ ，有 $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n} + 2$ ；
(2)
证明：
$\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{2009}} < 1.$

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F4（会透露解法方向）

利用零下标先求首项，再取n=1得到二阶差分。需完成对应解答中的转化并核验等号或端点，按 F4 评定。

用到的方法（会透露解法方向）