同一骨架 2014 年湖北预赛 第 4 题 · P010625
含绝对值的边界要先按符号分区。两题都在每个区域内改写成熟悉的曲线或直线，再把封闭图形拆成容易算面积的部分；区域之间只在边界相接时，面积才可以直接相加。
一个图形还要除以取点矩形的面积得到概率，另一个只求图形本身的面积。
培玉 · 一试
2022 年贵州预赛
爱心曲线围成区域的几何概率
F2填空题概率
“爱心”是由曲线
和
所围成的封闭图形。在区域
内任取一点 ，则 取自“爱心”内的概率
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
左半部曲线分成两个半径为 的半圆，右半部上下边界分别为 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
分别求面积后除以矩形区域 的面积。
解答
当 时， 为
当 时， 为
限制 后，左半部由两个半圆构成，面积为 。右半部面积为
故“爱心”面积为 。又
所以
复核
两部分只在 的边界处相接，面积没有重叠；概率严格位于 与 之间。
方法总结
几何概率先把封闭图形按易积分的边界分块。圆弧部分用标准圆面积，函数图像部分用上下函数之差积分，最后除以均匀取点区域面积。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
左部绝对值曲线拆成两个半圆，右部按上下余弦曲线的面积积分，最后除以给定矩形面积，分区路线直接。
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