垫脚石（相关题 → 此题） 2012 年天津预赛 第 11 题 · P010022
前题展示先对有限前 n 项乘积作平方差因式分解与相邻约分（乘积望远镜）、化为只含首尾因子的有理闭式后再取极限；后题将同样的“先算有限闭式再取极限”思想迁移到有限部分和的裂项相消中，进一步把精确部分和闭式放入双侧严格不等式中夹逼定出常数，并提取二阶余项的极限。
前题是利用平方差因式分解化简有限乘积并求极限，后题是利用相邻平方倒数差化简有限部分和，并延伸到控制余项阶数与逐项验证有限下标的严格不等式。
培玉 · 一试
2026 年培玉原创改编高中数学竞赛 · 第 6 题
F2填空题数列与函数的极限
设正项数列 满足 ，记其前 项和为 。若实数 对一切正整数 均满足
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
注意到分子 恰好是分母中两个相邻平方因子的差，因此可先对通项作裂项相消，在取极限之前写出前 项和 的精确有限闭式。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
再由双侧严格不等式对全体正整数 成立，利用夹逼定理确定常数 的唯一值，并代入计算二阶余项极限。
解答
1. 有限望远镜相消求前 项和 ： 对任意正整数 ，利用 将通项裂项：
对 求和，首尾相消得精确有限部分和：
2. 双侧夹逼确定常数 并核验有限下标严格性： 题设对一切 均有
当 时，左右两端极限均为
由夹逼定理知必有 。 反过来核验 对每个有限正整数 的严格可达性： - 左端： 对一切 严格成立； - 右端： 对一切 严格成立。 故 唯一且满足全部条件。
3. 计算目标极限与 之和： 将 与 代入，得
因此
复核
取小下标检验有限和与严格不等式： - 当 时，，右端为 ，确有 ； - 当 时，，右端为 ，确有 。 同时 的主部系数为 ，与 相加得 。
方法总结
处理含参数夹逼的无穷级数/部分和问题，应先在有限项下标 处完成望远镜裂项相消，写出 的精确代数式，再用双侧极限夹逼唯一定出常数，并回代验证每个有限正整数 处的严格不等号确实成立。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
需先将通项拆为相邻平方倒数差求出精确有限部分和，再通过双侧严格不等式的夹逼确定唯一常数并计算二阶余项极限。
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