易混 2022 年新疆预赛 · P006902
两题都先把空间或复数模关系降成平面方程，再检验所得点是否真正满足原问题；必要方程之外的范围不可省略。
空间题的平面圆必须与正方形面片裁剪，只剩合法圆弧；复模题平方后必须回查原等式右侧非负，不能凭标准曲线方程就宣告全曲线有效。
培玉 · 一试
2024 年新疆预赛
F2填空题空间角与距离
在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 为底面 内一点，则满足 的点 的轨迹长度为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把空间定距投影到底面，轨迹成为以一条底边中点为圆心的圆与正方形的交弧。
解答
设 为 在底面上的正投影，则 是 的中点，且 。由勾股定理，
在底面取坐标使 、正方形为 。轨迹圆为
它在正方形内对应圆心角从 到 的圆弧，故轨迹长度为
复核
弧的两个端点为 、，中点为 ，整段都位于正方形内。
方法总结
空间点到平面内动点的定距条件，可先用垂直投影和勾股定理化成平面圆，再截取可行区域内的弧。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先将空间定距转为底面定圆，再由正方形边界截取60度圆弧。
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