2009 年黑龙江预赛 · 第 15 题

解答

以 $A$ 为原点，$AB,AD,A{A}_1$ 所在直线为三条坐标轴，取单位长度，则

由距离公式，$EF=FG=3/2$，$EG=3/\sqrt{2}$。等腰三角形 $EFG$ 以 $EG$ 为底的高为

所以 $S_{EFG}=9/8$。 向量 $\vec{n}=(-1,2,-2)$ 同时垂直于 $\overrightarrow{EF}=(1,1,1/2)$ 与 $\overrightarrow{EG}=(2,1/2,-1/2)$，且这两向量不平行，故 $\vec{n}$ 是平面 $EFG$ 的法向量。 因为 $|\vec{n}|=3$，$\overrightarrow{E{B}_1}=(2,0,1/2)$，点 $B_1$ 到平面 $EFG$ 的距离为

因此 $\boxed{V_{B_1-EFG}=\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{8}\cdot 1=\frac{3}{8}}$。