2020 年中科大少年班初试 · 第 3 题

解答

原方程等价于 $xy-x^2/\sqrt{3}=1$。二次型矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}-1/\sqrt{3}& 1/2\\ 1/2& 0\end{array}\right)$，两个特征值为 $1/(2\sqrt{3})$ 与 $-\sqrt{3}/2$。经正交旋转后，方程是 $U^2/(2\sqrt{3})-V^2/(2/\sqrt{3})=1$。所以实半轴平方为 $2\sqrt{3}$，虚半轴平方为 $2/\sqrt{3}$，得到 $\boxed{e=\sqrt{1+1/3}=2/\sqrt{3}}$。