同一骨架 2026 年广西预赛 · P006000
两题都先把原条件压缩为无量纲参数，再将目标与候选界的差拆成一个平方。这个平方不仅证明不等式，也把取等的参数关系一并留下，最后须回到原变量确认可实现。
一题的数列平均数藏着二次型，另一题的根式差量需要先开方换元；应比较非负分解怎样出现，而不是寻找相同外形。
培玉 · 一试
2023 年江西预赛
F2解答题不等式的证明
设 。求证：
并确定等号成立的条件。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
除以 后把两个非负差量开方，原不等式平方后会化成一个完全平方。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令
则 ，且 。原不等式等价于
两边均非负，平方后其差为
故原不等式成立。等号成立当且仅当 ，即
复核
所有平方与开方的量均非负，等价变形可逆；等号条件自动推出 。
方法总结
根式中出现 时，可用其平方根作无量纲代换，把目标化为完全平方恒非负。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
令两个根式比值为x、y后，不等式化成(x+y)²<=(1+x²)(1+y²)，差为(xy-1)²，属于常用平方或柯西模型。
联系 · 2 条
同一骨架 2023 年吉林预赛 · P006698
两题都把复杂根式与候选界比较，平方或配方后出现一个明确的非负剩余项。先核两边符号，再把取等条件还原到原变量，才能同时证明界与界的可达性；直接展开求导会掩盖这个结构。
一题把根号内拆成两个平方并与其中一个分量比较，另一题归一化、开方换元后对目标差作完全平方分解。
已记下，谢谢！