一试训练题

解答

若 $a=0$，原式为 $\sqrt{2}=2$，无解。下设 $a\ne 0$，令 $y=ax+2$，则 $x=(y-2)/a$ 与 $y$ 一一对应。原式等价于

这是充分必要条件：多项式等式表示原被开方数等于 $y^2$，加上 $y\ge 0$ 即恢复原根式。

若 $a=1$，方程为 $3y-4=0$，恰一正根。若 $a>1$，根积 $-4/(a-1)<0$，故恰有一个正根，原式恰一实根。

若 $a<1$ 且 $a\ne 0$，实根一旦存在，其和为 $(4-a)/(1-a)>0$，积为 $4/(1-a)>0$，故所有实根均正。判别式为

它在 $a=-8$ 时为零，给一个重正根；在 $a<-8$ 或 $0<a<1$ 时为正，给两个不同正根；在 $-8<a<0$ 时为负，无实根。综上，参数范围是 $\boxed{\{-8\}\cup [1,+\infty )}$。