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等比数列与等差数列

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

等差与等比数列提供两种不同的尺度：一种把下标变化变成加法，另一种变成乘法。竞赛题往往把这两种结构藏进三角形、方程根或整数条件里。先把数列压缩为少数参数，再核对符号、整性与取等构造，通常比逐项计算有效。

1. 先修与破题直觉：对同一组等比数列，分别写前四项与直接相加的和；先用常数列检验公式的 $q = 1$ 分支。

2. 核心条件辨析：等差常数列允许 $d = 0$ ；等比求和分式要求 $q \neq = 1$ ；有限段整数项不强迫公比为整数。

3. 典型误区对比：对照下方零分母与部分和首项两组卡，再做自测；涉及 $S_{n} - S_{n - 1}$ 时，先说清是否定义了 $S_{0} = 0$ 。

4. 方法迁移带练：把整数等比段 $4, 6, 9$ 延长一项得 $27/2$ ；它说明有限三项为整数与所有正整数项均为整数是不同条件。

5. 分级真题实战：先练“等差通项、平均数与前缀和消元”，再练“项号整性、既约分母与有限筛选”；综合题写完候选公比后逐项核正负、零项及下标。

先修（培玉高中数学）：数列的概念等差数列等比数列二次函数与一元二次方程、不等式

知识要点

等差数列是下标的一次式

公差为 $d$ 的等差数列满足 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ，因此 $a_{j} - a_{i} = (j - i) d$ 。先利用一个线性条件消去首项或公差，剩下的条件就只含一个参数。常数列 $d = 0$ 也属于等差数列，除以公差以前必须单列。例： $a_{1} = 4, d = - 2$ 时，前四项为 $4, 2, 0, - 2$ ，所以 $a_{4} = - 2$ 。

前缀和、平均数与首末项

等差数列有 $S_{n} = n (a_{1} + a_{n}) /2$ ，即 $S_{n} / n$ 是首末项的平均。反向由和求项时， $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 只对 $n \geq 2$ 直接使用，首项应由 $a_{1} = S_{1}$ 确认。例： $S_{n} = 2 n^{2} + 3 n$ 给 $a_{n} = 4 n + 1$ ，其中 $a_{1} = 5$ ；不能把前缀和的比误当成对应项的比。

等比关系保留符号与非零条件

非零项组成的等比数列可写成 $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ ，相邻比相同，中间三项满足 $a_{k}^{2} = a_{k - 1} a_{k + 1}$ 。正项时 $q > 0$ ，但一般实数等比数列可以有负公比。例： $3, - 6, 12, - 24$ 的公比为 $- 2$ ，其第二项平方等于第一、三项的乘积。含零项时不能直接用相邻比定义或随意约分，应回查所给关系。

等比求和与整段下标平移

当 $q \neq = 1$ 时， $S_{n} = a_{1} (1 - q^{n}) / (1 - q)$ ； $q = 1$ 则 $S_{n} = n a_{1}$ 。若多个下标同时增加 $h$ ，对应各项都乘以 $q^{h}$ ，因此整段和也同倍缩放。例： $2, 6, 18, 54$ 的和为 $80$ ，向后平移两项后和为 $720$ 。约去整段和以前仍须证明它非零，交错正负项的和可能为零。

两种数列叠加时合并尺度参数

等差项与等比项相乘时，可写成 $u_{n} = (A + (n - 1) D) q^{n - 1}$ ；原来两个首项的公共尺度已经合并进 $A, D$ 。由连续几个 $u_{n}$ 消去 $D$ 后，再用正负条件约束 $q$ 。例：等差项 $2, 3, 4$ 与等比项 $1, 2, 4$ 逐项相乘，得到 $2, 6, 16$ ，这个乘积数列一般既非等差也非等比。

最佳常数要同时证明界与可达

把通项、平均数代入目标后，恒成立问题常降为二次型或一元函数。配方可以给下界，但最大常数或最小值还须在原数列条件中达到。例：对任意实数 $x$ ， $x^{2} + (x + 2)^{2} = 2 (x + 1)^{2} + 2 \geq 2$ ，在 $x = - 1$ 取等。若变量由整数下标产生，还要核对该取等参数能否由合法下标实现。

中心项把对称条件变成代数式

三个等差数可写为 $x - h, x, x + h$ ，两端和为 $2 x$ 、乘积为 $x^{2} - h^{2}$ 。若它们是方程根，则对应因式为 $(t - x) ((t - x)^{2} - h^{2})$ ，可直接比较系数。例：根为 $1, 3, 5$ 时多项式是 $(t - 3)^{3} - 4 (t - 3) = t^{3} - 9 t^{2} + 23 t - 15$ 。由系数猜到结构后，还须反向展开证明充分性。

整数项不代表整数公比

若正整数等比数列的既约公比为 $m / r$ ，前 $L$ 项均为整数，则 $r^{L - 1} ∣ a_{1}$ 。可令 $a_{1} = k r^{L - 1}$ ，把各项写成一个整数尺度乘本原整数核。例：公比 $3/2$ 的四个整数项可以是 $8, 12, 18, 27$ 。另有“平方仍是某一项”时，应引入整数项号比较差，再用同余提高整性，不能预设首项、公差已是整数。

方法卡

等差数列的项与和：用首项和公差消元，再求值或定范围

等差数列只由首项和公差决定。把条件都写成这两个数，或者用“和等于项数乘平均数”少算几步，题目就只剩下一两个未知数。

完整讲解 · 例题 · 可练 32 题

一、是什么

通项：相隔几项就差几个公差

首项为 $a$ 、公差为 $d$ 的数列，从第 1 项走到第 $n$ 项要加 $n - 1$ 次 $d$ ，所以 $a_{n} = a + (n - 1) d$ 。任意两项的差只看隔了几步： $a_{7} - a_{3} = 4 d$ 。公差可以是 $0$ （常数列）或负数，除以 $d$ 之前要先想到这一点。

求和：项数乘平均数

把 $S_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}$ 倒过来再写一遍，上下对齐相加，每一对都等于 $a_{1} + a_{n}$ ，共 $n$ 对，所以 $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ 。例如 $3, 5, 7, 9, 11$ 的和是 $\frac{5 \times ( 3 + 11 )}{2} = 35$ 。

下标和相等，项的和就相等

$a_{m} + a_{n} = 2 a + (m + n - 2) d$ 只和 $m + n$ 有关，所以 $a_{2} + a_{9} = a_{5} + a_{6}$ 。由此得到：项数为奇数时，和等于项数乘正中间那一项， $S_{2 k - 1} = (2 k - 1) a_{k}$ ，例如 $S_{5} = 5 a_{3}$ 。又如 $2 + 7 + 12 = 3 \times 7$ ，所以 $a_{2} + a_{7} + a_{12} = 3 a_{7}$ ，知道它就知道 $S_{13} = 13 a_{7}$ 。

由和求项：首项要单独算

$n \geq 2$ 时 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ ，而 $n = 1$ 时只能用 $a_{1} = S_{1}$ ，因为这时公式里的 $S_{0}$ 并不是题目给的式子。例如 $S_{n} = n^{2} + 2 n + 3$ ： $a_{1} = 6$ ， $n \geq 2$ 时 $a_{n} = 2 n + 1$ 。把 $n = 1$ 代入 $2 n + 1$ 得 $3 \neq = 6$ ，所以这个数列从第 2 项起才是等差的。

先看一道例题

例 1：由一项和一个和求数列

等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 3, S_{7} = 35$ ，求 $a_{10}$ 。

怎么看出来：

$S_{7}$ 是奇数项的和，等于 $7$ 乘正中间的 $a_{4}$ ，这样就有了两项。

解：

$S_{7} = 7 a_{4} = 35$ ，所以 $a_{4} = 5$ 。 $a_{4} - a_{2} = 2 d = 2$ ，所以 $d = 1$ 。 $a_{10}$ 比 $a_{4}$ 多走 $6$ 步， $a_{10} = 5 + 6 = 11$ 。检查：数列是 $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \dots$ ，第 2 项是 $3$ ，前 7 项和是 $35$ 。

答案：

$a_{10} = 11$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
给出某一项和一个奇数项的和，如 $a_{2}$ 与 $S_{7}$	用 $S_{2 k - 1} = (2 k - 1) a_{k}$ 先求中间项，再用两项之差求公差
几项之和且下标加起来有规律，如 $a_{2} + a_{7} + a_{12}$	按下标和配对，写成中间项的倍数，再连到 $S_{n}$
给出 $S_{n}$ 的式子，要求通项	$n \geq 2$ 时作差， $a_{1} = S_{1}$ 单独核对
两个数列的和之比对所有 $n$ 成立，要求项之比	用 $\frac{a _{k}}{b _{k}} = \frac{S _{2 k - 1}}{T _{2 k - 1}}$ ，或设 $S_{n} = kn (\dots)$ （见进阶“两个数列的和之比”）
问 $S_{n}$ 何时最大，或 $S_{n} > 0$ 的最大 $n$	找各项由正变负的位置，或用中间项判断和的正负（见进阶“和的最大值和正负”）
给出 $S_{m}$ 、 $S_{2 m}$ 这样成倍的和	用等长分段的和成等差（见进阶“等长分段的和”）

三、怎么用

设首项 $a$ 、公差 $d$ ，写出条件。例如 $a_{4} = 2, S_{5} = 20$ ，求 $a_{6}$ ：这里 $a_{4} = a + 3 d = 2$ ， $S_{5} = \frac{5 ( a _{1} + a _{5} )}{2}$ 。
能用中项就用中项，先求出一项。 $a_{1} + a_{5} = 2 a_{3}$ ，所以 $S_{5} = 5 a_{3} = 20$ ， $a_{3} = 4$ 。
用两项之差求公差。 $a_{4} - a_{3} = d$ ，所以 $d = 2 - 4 = - 2$ 。公差可以是负数，不要默认为正。
从已知项走到要求的项。 $a_{6}$ 比 $a_{4}$ 多走 $2$ 步， $a_{6} = 2 + 2 \times (- 2) = - 2$ 。
写出具体数列代回检查。 $8, 6, 4, 2, 0$ 的第 4 项是 $2$ ，和是 $20$ ，第 6 项是 $- 2$ 。

四、再做一道

例 2：两个条件都用中项

等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{6} = 14, S_{3} = 12$ ，求通项和 $S_{10}$ 。

怎么看出来：

这次没有直接给出某一项。下标 $2 + 6 = 4 + 4$ ，所以 $a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}$ ； $S_{3}$ 是 $3$ 项的和，等于 $3 a_{2}$ 。

解：

$2 a_{4} = 14$ ，所以 $a_{4} = 7$ 。 $3 a_{2} = 12$ ，所以 $a_{2} = 4$ 。 $a_{4} - a_{2} = 2 d = 3$ ，所以 $d = \frac{3}{2}$ 。于是 $a_{n} = a_{2} + (n - 2) d = 4 + \frac{3}{2} (n - 2) = \frac{3 n + 2}{2}$ 。 $a_{1} = \frac{5}{2}, a_{10} = 16$ ，所以 $S_{10} = \frac{10 \times ( \frac{5}{2} + 16 )}{2} = \frac{185}{2}$ 。检查：前 3 项是 $\frac{5}{2}, 4, \frac{11}{2}$ ，和为 $12$ ； $a_{6} = 10$ ， $a_{2} + a_{6} = 14$ 。

答案：

$a_{n} = \frac{3 n + 2}{2}$ ， $S_{10} = \frac{185}{2}$ 。

五、容易错在哪

只对某一个 $n$ 成立的等式，不能当成对所有 $n$ 成立的恒等式去比较系数。
$\frac{S _{n}}{T _{n}}$ 不等于 $\frac{a _{n}}{b _{n}}$ ；项之比要换成 $\frac{S _{2 n - 1}}{T _{2 n - 1}}$ 。
设 $S_{n} = k (3 n + 1)$ 是错的：等差数列的和没有常数项，要设 $S_{n} = kn (3 n + 1)$ 。
公差为负时，不等式两边除以公差，不等号要反向。
用 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 求出通项后，要用 $a_{1} = S_{1}$ 核对首项。

进阶：两个数列的和之比

和的形状：约去 n 后是一次式

代入通项得 $S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + (a - \frac{d}{2}) n$ ，所以 $\frac{S _{n}}{n}$ 是 $n$ 的一次式。若两个等差数列对所有正整数 $n$ 满足 $\frac{S _{n}}{T _{n}} = \frac{3 n + 1}{2 n + 5}$ ，设 $\frac{S _{n}}{n} = A n + B, \frac{T _{n}}{n} = C n + D$ ，交叉相乘得 $(A n + B) (2 n + 5) = (3 n + 1) (C n + D)$ 。两边是二次式，对所有正整数 $n$ 都相等，所以系数相等： $2 A = 3 C, 5 A + 2 B = C + 3 D, 5 B = D$ 。把 $C = \frac{2}{3} A, D = 5 B$ 代入中间的式子，得 $\frac{13}{3} A = 13 B$ ，即 $A = 3 B$ 。记 $k = B$ ，就有 $(A, B, C, D) = k (3, 1, 2, 5)$ ，这里 $k \neq = 0$ ，因为和的比有意义。所以 $S_{n} = kn (3 n + 1), T_{n} = kn (2 n + 5)$ ，多乘的那个 $n$ 不能丢。如果给的是逐项的比，如 $\frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ ， $a_{n}, b_{n}$ 本身就是一次式，比较系数后得 $a_{n} = k (2 n + 1), b_{n} = k (n + 3)$ 。

两种比不能混：项的比要换成和的比

$\frac{S _{n}}{T _{n}}$ 的值不等于 $\frac{a _{n}}{b _{n}}$ 。正确的换法是用正中间那一项： $\frac{a _{k}}{b _{k}} = \frac{( 2 k - 1 ) a _{k}}{( 2 k - 1 ) b _{k}} = \frac{S _{2 k - 1}}{T _{2 k - 1}}$ 。想求第 6 项的比，就把 $n = 11$ 代入和的比。

例 3：由和之比求通项

两个等差数列的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，对所有正整数 $n$ 有 $\frac{S _{n}}{T _{n}} = \frac{3 n + 1}{2 n + 5}$ ，且 $a_{1} = 4$ 。求 ${b_{n}}$ 的通项和 $T_{5}$ 。

怎么看出来：

比值只确定两个和的形状，还差一个比例数 $k$ ，已知的首项正好用来定 $k$ 。

解：

设 $S_{n} = kn (3 n + 1), T_{n} = kn (2 n + 5)$ 。 $a_{1} = S_{1} = 4 k = 4$ ，所以 $k = 1$ 。 $T_{n} = n (2 n + 5)$ ， $n \geq 2$ 时 $b_{n} = T_{n} - T_{n - 1} = 4 n + 3$ ，且 $b_{1} = T_{1} = 7$ 也符合。 $T_{5} = 5 \times 15 = 75$ 。检查： $a_{n} = 6 n - 2$ ， $S_{2} = 14$ ， $T_{2} = 18$ ，比为 $\frac{7}{9}$ ，而公式给 $\frac{7}{9}$ ，相同。

答案：

$b_{n} = 4 n + 3$ ， $T_{5} = 75$ 。

进阶：和的最大值和正负

和的最大值和正负

首项为正、公差为负时，各项由正变负。加入正项，和严格增大；加入零项，和不变；加入负项，和减小。所以当 $a_{k} > 0 > a_{k + 1}$ 时， $S_{k}$ 是唯一的最大值。若某一项 $a_{k} = 0$ （ $k \geq 2$ ），则 $S_{k - 1} = S_{k}$ 并列最大；题目说“当且仅当 $n = k$ 时最大”，就要用严格的 $a_{k} > 0 > a_{k + 1}$ 。也可以看二次函数： $d \neq = 0$ 且 $p \neq = q$ 时，若 $S_{p} = S_{q}$ ，对称轴是 $n = \frac{p + q}{2}$ 。判断和的正负可以看中间： $S_{2 k - 1}$ 与 $a_{k}$ 同号， $S_{2 k} = k (a_{k} + a_{k + 1})$ 与 $a_{k} + a_{k + 1}$ 同号。

例 4：和的最大值与变号

等差数列首项 $a_{1} = 31$ ，公差 $d = - 4$ 。求 $S_{n}$ 的最大值，以及使 $S_{n} > 0$ 的最大正整数 $n$ 。

怎么看出来：

公差为负，前面的项是正数，后面的项是负数，要找变号的位置。

解：

$a_{n} = 35 - 4 n$ 。 $a_{8} = 3 > 0$ ， $a_{9} = - 1 < 0$ ，所以加到第 8 项时和最大， $S_{8} = \frac{8 \times ( 31 + 3 )}{2} = 136$ 。又 $S_{n} = \frac{n ( 31 + 35 - 4 n )}{2} = n (33 - 2 n)$ ， $S_{n} > 0$ 等价于 $n < 16.5$ ，所以 $n$ 最大为 $16$ 。检查： $S_{16} = 16$ ， $S_{17} = - 17$ 。

答案：

最大值 $136$ ； $n$ 最大为 $16$ 。

例 5：负公差时的下标不等式

等差数列满足 $a_{1} > 0$ ， $a_{3} + a_{10} = 0$ 。求使 $S_{n} \geq a_{1}$ 成立的最大正整数 $n$ 。

怎么看出来：

只有一个等式，首项和公差只能消去一个。把它们都写成 $d$ ，最后不等式两边的 $d$ 可以约掉，但要注意它的符号。

解：

$2 a_{1} + 11 d = 0$ ，所以 $a_{1} = - \frac{11}{2} d$ 。因为 $a_{1} > 0$ ，所以 $d < 0$ 。代入 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d$ 得 $S_{n} = \frac{d n ( n - 12 )}{2}$ 。不等式是 $\frac{d n ( n - 12 )}{2} \geq - \frac{11}{2} d$ ，两边除以 $\frac{d}{2} < 0$ ，方向改变： $n (n - 12) \leq - 11$ ，整理得 $n^{2} - 12 n + 11 \leq 0$ ，即 $(n - 1) (n - 11) \leq 0$ ，所以 $1 \leq n \leq 11$ 。检查：取 $d = - 2, a_{1} = 11$ ， $S_{n} = n (12 - n)$ ， $S_{11} = 11 = a_{1}$ ，等号成立； $S_{12} = 0 < 11$ ，不成立。

答案：

$n$ 最大为 $11$ 。

进阶：等长分段的和

等长分段的和仍成等差

$S_{m}, S_{2 m} - S_{m}, S_{3 m} - S_{2 m}$ 是连续 3 段各 $m$ 项的和。后一段的每一项都比前一段对应项大 $m d$ ，共 $m$ 项，所以每段和多 $m^{2} d$ ，这 3 段的和成等差数列。例如 $1, 2, \dots, 6$ 取 $m = 2$ ，3 段的和是 $3, 7, 11$ ，每次多 $m^{2} d = 4$ 。

进阶：奇偶位置分开求和

例 6：奇数位置与偶数位置分开求和

一个等差数列共有奇数项，奇数位置的项之和为 $48$ ，偶数位置的项之和为 $36$ 。求项数和正中间的项。

怎么看出来：

项数是奇数时，两部分的平均数都等于正中间的项，两个和只是项数不同。

解：

设共 $2 m + 1$ 项，中间项为 $M$ 。奇数位置有 $m + 1$ 项，下标关于中间对称，平均数是 $M$ ，和为 $(m + 1) M = 48$ ；偶数位置有 $m$ 项，和为 $m M = 36$ 。相减得 $M = 12$ ，于是 $m = 3$ ，共 $7$ 项。检查： $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21$ 中， $3 + 9 + 15 + 21 = 48$ ， $6 + 12 + 18 = 36$ 。

答案：

共 $7$ 项，中间项为 $12$ 。

真题

按这个方法练 · 32 题

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看出等比关系的题：求公比，整段提公因子，再定范围

只要后一项总是前一项的同一个倍数，就是等比数列。求出这个倍数，整段往后挪几位，就是整段乘它的几次方，题目往往因此变简单。

完整讲解 · 例题 · 可练 34 题

一、是什么

通项和公比的正负

每一项都是前一项的 $q$ 倍（ $q$ 叫公比），所以 $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ ，且各项都不为零。公比可以是负数，这时项一正一负： $3, - 6, 12, - 24$ 的公比是 $- 2$ 。各项为正可以推出 $q > 0$ ；更一般地，相邻两项同号就有 $q > 0$ ，如 $- 1, - 2, - 4$ 。

整段平移：提出公比的幂

下标同时加 $h$ ，每一项都乘 $q^{h}$ ，所以 $a_{4} + a_{5} + a_{6} = q^{3} (a_{1} + a_{2} + a_{3})$ 。不用求首项，两段和相除就能得到公比的幂。相除之前要确认被除的那段和不为零，公比为负时几项可能恰好抵消，如 $1, - 1$ 。

乘积：下标和相等就配对

$a_{m} a_{n} = a_{1}^{2} q^{m + n - 2}$ 只和 $m + n$ 有关，所以 $a_{1} a_{5} = a_{2} a_{4} = a_{3}^{2}$ ，连续奇数项的乘积等于中间项的幂： $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} = a_{3}^{5}$ 。例如 $a_{3} = 2$ 时，5 项之积是 $32$ 。

求和公式要分 $q = 1$

用错位相减： $S_{n} - q S_{n} = a_{1} - a_{1} q^{n}$ ，所以 $q \neq = 1$ 时 $S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ 。这一步除以了 $1 - q$ ， $q = 1$ 时不能用，这时 $S_{n} = n a_{1}$ 。若题目含 $S_{n}$ 而没给 $q$ ，就先写成 $a_{1} + a_{1} q + \dots$ ，再因式分解，不要直接套分式。

先看一道例题

例 1：整段提公比

正项等比数列中 $a_{1} + a_{2} = 3, a_{3} + a_{4} = 12$ ，求 $a_{1}$ 和 $a_{5} + a_{6}$ 。

怎么看出来：

两段和的下标错开 2 位，比值就是 $q^{2}$ ，不必解方程组。

解：

$a_{3} + a_{4} = q^{2} (a_{1} + a_{2})$ ，所以 $q^{2} = 4$ 。各项为正， $q = 2$ 。 $a_{1} (1 + 2) = 3$ ，得 $a_{1} = 1$ 。 $a_{5} + a_{6} = q^{2} (a_{3} + a_{4}) = 48$ 。检查： $1, 2, 4, 8, 16, 32$ 符合。

答案：

$a_{1} = 1$ ， $a_{5} + a_{6} = 48$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
几段和的下标同时错开，如 $a_{1} + a_{2}$ 与 $a_{5} + a_{6}$	提出公比的幂，两段相除
连续奇数项的乘积，或 $a_{m} a_{n}$	按下标和配对，用中间项
含 $S_{n}$ 的等式，且 $q$ 未知	不用分式，展开后因式分解，或单独看 $q = 1$
$a_{s + t} = a_{s} a_{t}$ ，或点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 在过原点的直线上	化成 $a_{n + 1} = 常数 \cdot a_{n}$ ，注意坐标的先后（见进阶“藏起来的等比”）
$S_{n} < M$ 恒成立，求 $M$ 的最小值	判断 $S_{n}$ 递增，求它越来越接近的值，这个值 $S_{n}$ 取不到（见进阶“无限项的和”）
三角形的三边、或一层层缩小的图形	写出公比，把几何要求化成公比的范围（见进阶“长度成等比”）

三、怎么用

找出各段下标错开几位。例如各项为实数的等比数列满足 $a_{1} + a_{2} = 2, a_{4} + a_{5} = 54$ ，求 $a_{7} + a_{8}$ ：后一段错开 $3$ 位，所以 $a_{4} + a_{5} = q^{3} (a_{1} + a_{2})$ 。
确认作分母的那段和不为零，再相除。 $a_{1} + a_{2} = 2 \neq = 0$ ，所以 $q^{3} = \frac{54}{2} = 27$ ， $q = 3$ 。
需要首项时再求。这里只用了两项之和，没有用分式求和公式；若要用公式，先判断 $q = 1$ 是否可能。由 $a_{1} + 3 a_{1} = 2$ 得 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 。
用同样的错位求目标。 $a_{7} + a_{8}$ 比 $a_{4} + a_{5}$ 又错开 $3$ 位，所以 $a_{7} + a_{8} = 27 \times 54 = 1458$ 。
写出前几项代回。 $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{27}{2}, \frac{81}{2}$ 中，第 1、2 项和为 $2$ ，第 4、5 项和为 $54$ 。

四、再做一道

例 2：求和不要漏掉公比为 1

等比数列满足 $S_{3} = 3 a_{3}$ ，求公比 $q$ 。

怎么看出来：

如果用分式求和，就先排除了 $q = 1$ 。直接写出 3 项更安全。

解：

$a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} = 3 a_{1} q^{2}$ 。 $a_{1} \neq = 0$ ，约去得 $1 + q - 2 q^{2} = 0$ ，即 $(1 - q) (1 + 2 q) = 0$ ，所以 $q = 1$ 或 $q = - \frac{1}{2}$ 。检查： $1, 1, 1$ 的和是 $3$ ，等于 $3 \times 1$ ； $4, - 2, 1$ 的和是 $3$ ，等于 $3 \times 1$ 。两个都成立。

答案：

$q = 1$ 或 $q = - \frac{1}{2}$ 。

五、容易错在哪

点写成 $(a_{n + 1}, a_{n})$ 时，直线斜率是公比的倒数，代反就错了。
没有“各项为正”时，不能默认 $q > 0$ ；由 $q^{2} = 4$ 得到的 $q = \pm 2$ 都要检查。
公比也不一定是整数。各项是整数时，公比可能是 $\frac{3}{2}$ 这样的分数。
把两段和相除之前，要确认作分母的那段和不为零。
三角形的边长范围端点是退化情形，取不到；写范围时要用严格不等号。

进阶：藏起来的等比

藏起来的等比：先化成相邻两项的关系

题目不一定写“等比”。若 $a_{s + t} = a_{s} a_{t}$ 对所有正整数 $s, t$ 成立，令 $t = 1$ 得 $a_{n + 1} = a_{1} a_{n}$ ，公比就是 $a_{1}$ 。这里要先用已知的非零项或正项条件排除全为零的数列，它不算等比数列。若点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 都在直线 $y = \frac{x}{3}$ 上，则 $a_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n}$ 。若点写成 $(a_{n + 1}, a_{n})$ 且在同一条直线上，横纵坐标对调，就成了 $a_{n} = \frac{1}{3} a_{n + 1}$ ，公比变成 $3$ ，这里最容易弄反。几何图形一层层按相同比例缩小时，长度或面积也成等比，面积的比是长度比的平方。

进阶：和的递推

和的递推关系

把 $S_{n + 1}$ 除首项外的每一项都提出 $q$ ，得 $S_{n + 1} = a_{1} + q S_{n}$ 。把前两项留下，其余每一项都提出 $q^{2}$ ，得 $S_{n + 2} = a_{1} + a_{2} + q^{2} S_{n}$ 。这两个式子对 $q = 1$ 也成立。若题目给 $S_{n + 2} = 9 S_{n} + 4$ ，比较后知道 $q^{2} = 9$ ， $a_{1} + a_{2} = 4$ 。 $q$ 有正负两个值，都要检查： $q = 3$ 时 $a_{1} = 1$ ， $q = - 3$ 时 $a_{1} = - 2$ ，两个数列都满足条件。

例 3：和的递推求首项与公比

等比数列满足 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ 对所有正整数 $n$ 成立，求 $a_{1}$ 和 $q$ 。

怎么看出来：

含 $S_{n + 1}$ 和 $S_{n}$ 的恒等式，把等比数列自身的递推写出来比较。

解：

等比数列总有 $S_{n + 1} = a_{1} + q S_{n}$ ，与条件相减得 $(q - 2) S_{n} = 1 - a_{1}$ 对所有 $n$ 成立。若 $q \neq = 2$ ，则 $S_{n}$ 是常数，于是 $a_{2} = S_{2} - S_{1} = 0$ ，与等比数列各项非零矛盾。所以 $q = 2$ ， $a_{1} = 1$ 。检查： $S_{1}, S_{2}, S_{3} = 1, 3, 7$ ， $3 = 2 \times 1 + 1$ ， $7 = 2 \times 3 + 1$ 。

答案：

$a_{1} = 1, q = 2$ 。

进阶：无限项的和 · 先修：数列越来越接近某个数的直观

无限项的和

$∣ q ∣ < 1$ 时， $q^{n}$ 随 $n$ 增大越来越接近 $0$ ， $S_{n}$ 越来越接近 $\frac{a _{1}}{1 - q}$ 。当 $a_{1} > 0, 0 < q < 1$ 时，每个 $S_{n}$ 都比它小，又能任意接近它。所以“ $S_{n} < M$ 恒成立”的 $M$ 最小就等于这个值，而 $S_{n}$ 自身永远达不到它。证明“更小的 $M$ 不行”时，要对每个更小的 $M$ 都找出一个 $n$ ，只试一个具体数值不够。

例 4：藏起来的等比与取不到的上界

数列满足 $a_{1} = 2$ ，点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 都在直线 $y = \frac{x}{3}$ 上。若 $S_{n} < M$ 对所有正整数 $n$ 成立，求 $M$ 的最小值。

怎么看出来：

点在直线上给出 $a_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n}$ ，这是公比为 $\frac{1}{3}$ 的等比数列。

解：

$S_{n} = \frac{2 ( 1 - 3 ^{- n} )}{1 - \frac{1}{3}} = 3 (1 - 3^{- n}) = 3 - 3^{1 - n} < 3$ ，所以 $M = 3$ 满足要求。再证任何 $M < 3$ 都不行。设 $δ = 3 - M > 0$ 。先说明 $3^{n} \geq 1 + 2 n$ ： $n = 1$ 时 $3 \geq 3$ ；若 $3^{n} \geq 1 + 2 n$ ，则 $3^{n + 1} \geq 3 + 6 n \geq 1 + 2 (n + 1)$ ，所以对每个正整数 $n$ 都成立。选一个正整数 $n$ 使 $1 + 2 n > \frac{3}{δ}$ ，则 $3^{n} > \frac{3}{δ}$ ，即 $3^{1 - n} < δ$ ，于是 $S_{n} = 3 - 3^{1 - n} > 3 - δ = M$ ，这个 $M$ 不满足要求。例如 $M = 2.9$ 时 $δ = 0.1$ ，要 $1 + 2 n > 30$ ，取 $n = 15$ 就够；实际上 $S_{4} = \frac{80}{27} > 2.9$ 已经超过。

答案：

$M$ 的最小值为 $3$ （ $S_{n}$ 永远取不到 $3$ ）。

进阶：长度成等比 · 先修：余弦定理

长度成等比，先写范围

若三边依次为 $a, a q, a q^{2}$ 且 $q \geq 1$ ，最大边是 $a q^{2}$ ，只需较短两边之和大于最大边： $1 + q > q^{2}$ ，解得 $q < \frac{1 + 5}{2}$ 。这个端点时三点共线，三角形已经退化，所以取不到。正负、大小、三角形这些要求，都要先翻译成公比的范围。

例 5：长度成等比定范围

钝角三角形的三边 $a, b, c$ 依次成等比数列，公比 $q > 1$ ，求 $q$ 的范围。

怎么看出来：

三边可写成 $a, a q, a q^{2}$ ，把“能构成三角形”和“是钝角”都翻译成 $q$ 的不等式。

解：

$q > 1$ 时 $c = a q^{2}$ 最大。构成三角形要 $1 + q > q^{2}$ ，解得 $q < \frac{1 + 5}{2}$ ，等号时三点共线，取不到。钝角只能是最大边所对的角，由余弦定理需 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，即 $1 + q^{2} < q^{4}$ ，解得 $q^{2} > \frac{1 + 5}{2}$ 。检查： $q = 1.5$ 时边为 $1, 1.5, 2.25$ ， $2.5 > 2.25$ ，且 $3.25 < 5.0625$ ，符合； $q = 1.2$ 时不是钝角， $q = 1.7$ 时不成三角形。

答案：

$\frac{1 + 5}{2} < q < \frac{1 + 5}{2}$ 。

进阶：两数和的最小值

两段和之差求最小值

若给出后段与前段之差为 $c$ ，设前段和为 $t$ ，比值为 $Q$ （公比的幂），则 $t (Q - 1) = c$ 。各项为正且 $c > 0$ 时 $t > 0$ ，所以 $Q > 1$ 。这时把 $t$ 换掉，再设 $u = Q - 1 > 0$ ，目标会化成 $u + \frac{1}{u}$ 这样的形式。对正数 $u$ 有 $u + \frac{1}{u} \geq 2$ ，因为 $u + \frac{1}{u} - 2 = \frac{( u - 1 ) ^{2}}{u} \geq 0$ ， $u = 1$ 时取等号。

例 6：乘积固定求和的最小值

正项等比数列满足 $a_{3} a_{5} = 9$ ，求 $a_{2} + 4 a_{6}$ 的最小值。

怎么看出来：

$a_{3} a_{5}$ 的下标和是 $8$ ，等于 $a_{4}^{2}$ ，所以第 4 项已知，只剩公比一个变量。

解：

$a_{4}^{2} = 9$ ，各项为正， $a_{4} = 3$ 。 $a_{2} = \frac{3}{q ^{2}}, a_{6} = 3 q^{2}$ ，目标是 $\frac{3}{q ^{2}} + 12 q^{2}$ 。两个正数 $A, B$ 满足 $A + B \geq 2 A B$ ，因为差是 $(A - B)^{2} \geq 0$ ，等号在 $A = B$ 时成立。所以目标 $\geq 236 = 12$ 。等号要 $\frac{3}{q ^{2}} = 12 q^{2}$ ，即 $q^{2} = \frac{1}{2}$ ，这时两部分都是 $6$ ，能取到。

答案：

最小值为 $12$ 。

真题

按这个方法练 · 34 题

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等差和等比同时出现的题：统一用一组未知数列方程，再排除错误情况

同一组数既要满足等差又要满足等比时，先都用公差或公比表示，再用“中间项的平方等于两边之积”列方程。解出的每一种情况都要回代检查。

完整讲解 · 例题 · 可练 7 题

一、是什么

选一个基准，其他项都用它表示

等差数列里相隔几项就差几个公差，所以附近的项都能写成基准项加公差的整数倍。例如取 $x = a_{1}$ ，就有 $a_{3} = x + 2 d, a_{7} = x + 6 d$ ，这样全题只有 $x, d$ 两个未知数。

两个条件：等比看平方，等差看 2 倍

$A, B, C$ 成等比时， $\frac{B}{A} = \frac{C}{B}$ ，去分母得 $B^{2} = A C$ 。这个式子不含公比，能直接列方程。注意反过来要求 $A, B, C$ 都不为零。代入后 $x^{2}$ 通常会消掉，只剩 $x$ 和 $d$ 的一次关系，这正是这类题好算的原因。反过来，变换后要成等差时，用 $A, B, C$ 成等差等价于 $2 B = A + C$ 。

别忘了公差为零的情况

$(x + d)^{2} = x (x + 3 d)$ 化简得 $d (x - d) = 0$ ，所以 $d = 0$ 或 $x = d$ 。不能直接约掉 $d$ 。非零的常数列既是等差数列，也是公比为 $1$ 的等比数列。题目说“递增”或“公差不为零”才能排除它。

先看一道例题

例 1：公差为零也是一种情况

等差数列满足 $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ 成等比数列，且 $S_{5} = 30$ ，求通项。

怎么看出来：

题目没说公差不为零，方程要因式分解，留下 $d = 0$ 的情况。

解：

设首项 $x$ 、公差 $d$ 。 $S_{5} = x + (x + d) + (x + 2 d) + (x + 3 d) + (x + 4 d) = 5 (x + 2 d) = 5 a_{3} = 30$ ，所以 $a_{3} = 6$ 。等比条件是 $(x + d)^{2} = x (x + 3 d)$ ，展开得 $x^{2} + 2 x d + d^{2} = x^{2} + 3 x d$ ，化简得 $d (x - d) = 0$ 。若 $d = 0$ ， $a_{n} = 6$ ，常数列 $6, 6, 6$ 成等比，符合。若 $x = d$ ，则 $a_{n} = n d$ ，由 $a_{3} = 3 d = 6$ 得 $d = 2$ ， $a_{n} = 2 n$ ，此时 $a_{1}, a_{2}, a_{4} = 2, 4, 8$ ，符合。

答案：

$a_{n} = 6$ 或 $a_{n} = 2 n$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
一个等差数列的第 $i, j, k$ 项成等比	用基准项写出这 3 项，列中项平方方程
等比数列经过变换后成等差	用公比写出 3 项，列“中间项的 2 倍等于两边之和”
条件里有“递增”“正数”“公差不为零”	用来排除 $d = 0$ 或错误的公比
三个数成等差，经过变换后成等比	设为 $x - d, x, x + d$ ，列中项平方方程（见进阶“三数变换”）
已知 $a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots$ ，一个等差一个等比	合并成 $(A + (n - 1) D) q^{n - 1}$ ，先消去 $D$ （见进阶“两个数列逐项相乘”）
要求第 $k$ 项仍在同一个等比数列中	先求公比，再让第 $k$ 项沿用这个公比（见进阶“多于 3 项”）

三、怎么用

选基准，把等差的项都写出来。例如递增等差数列 $a_{1} = 3$ ，且 $a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比，求 $d$ ：三项是 $3 + d, 3 + 3 d, 3 + 7 d$ 。
用 $B^{2} = A C$ 列方程，展开。 $(3 + 3 d)^{2} = (3 + d) (3 + 7 d)$ ，即 $9 + 18 d + 9 d^{2} = 9 + 24 d + 7 d^{2}$ 。
移项后因式分解，不直接约分。 $2 d^{2} - 6 d = 0$ ，即 $2 d (d - 3) = 0$ ，所以 $d = 0$ 或 $d = 3$ 。
用题目条件排除情况，并说明理由。数列递增，所以 $d > 0$ ，舍去 $d = 0$ ，得 $d = 3$ 。
写出具体的数代回。 $a_{2}, a_{4}, a_{8} = 6, 12, 24$ ，公比为 $2$ ，确实成等比。

四、再做一道

例 2：等比数列变换后成等差

公比不为 $1$ 的等比数列满足 $a_{1} = 3$ ，且 $a_{1}, 2 a_{2}, 3 a_{3}$ 成等差数列。求公比和前 4 项的和。

怎么看出来：

这次数列本身是等比，变换后才等差。用公比写出 3 项，再用“中间项的 2 倍等于两边之和”。

解：

$a_{2} = 3 q, a_{3} = 3 q^{2}$ 。 $2 \times 2 a_{2} = a_{1} + 3 a_{3}$ ，即 $12 q = 3 + 9 q^{2}$ ，整理得 $(3 q - 1) (q - 1) = 0$ 。 $q \neq = 1$ ，所以 $q = \frac{1}{3}$ 。数列是 $3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}$ ，和为 $\frac{40}{9}$ 。检查： $a_{1}, 2 a_{2}, 3 a_{3} = 3, 2, 1$ ，成等差。

答案：

$q = \frac{1}{3}$ ，前 4 项和为 $\frac{40}{9}$ 。

五、容易错在哪

乘积数列 $a_{n} b_{n}$ 一般既不是等差也不是等比，不能对它用中项平方。
直接约去 $d$ 会丢掉常数列；要先看题目是否排除了 $d = 0$ 。
只验证了 3 项成等比，还不够；如果有第 4 项，也要按同一个公比检查。
解出两个公比时，要回代到题目的每个条件，再决定留下哪个。

进阶：多于 3 项

多于 3 项时，后面要沿用同一个公比

若 $a_{1}, a_{3}, a_{7}, a_{k}$ 依次成等比，先用前 3 项求出公比，再让 $a_{k}$ 等于 $a_{7}$ 乘这个公比。只用中项关系 $a_{3} a_{k} = a_{7}^{2}$ 也可以，但要确认结果与同一个公比一致。

进阶：两个数列逐项相乘

逐项相乘：把两个首项合并

设 $a_{n} = a + (n - 1) d$ ， $b_{n} = b q^{n - 1}$ ，则 $a_{n} b_{n} = (ab + (n - 1) d b) q^{n - 1} = (A + (n - 1) D) q^{n - 1}$ ，这里 $A = ab, D = d b$ 。原来 4 个未知数只剩 $A, D, q$ 这 3 个，因为只有乘积才影响结果。乘积数列一般既不是等差也不是等比，例如 $2, 6, 16$ 。

例 3：两种数列逐项相乘

${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，已知 $c_{1} = 2, c_{2} = 8, c_{3} = 24$ ，且 $c_{4} > 0$ ，求 $c_{5}$ 。

怎么看出来：

分别设两个首项会多出未知数。合并后只有 $A, D, q$ 这 3 个，正好 3 个方程。

解：

设 $c_{n} = (A + (n - 1) D) q^{n - 1}$ ，则 $A = 2$ ， $(2 + D) q = 8$ ， $(2 + 2 D) q^{2} = 24$ 。由第 2 式得 $D = \frac{8}{q} - 2$ ，代入第 3 式： $(\frac{16}{q} - 2) q^{2} = 24$ ，即 $q^{2} - 8 q + 12 = 0$ ，所以 $q = 2$ 或 $q = 6$ 。 $q = 6$ 时 $D = - \frac{2}{3}$ ， $c_{4} = 0$ ，不满足 $c_{4} > 0$ ，舍去。 $q = 2$ 时 $D = 2$ ， $c_{n} = 2 n \cdot 2^{n - 1} = n \cdot 2^{n}$ ， $c_{4} = 64 > 0$ ， $c_{5} = 160$ 。检查： $c_{1}, c_{2}, c_{3} = 2, 8, 24$ 。

答案：

$c_{5} = 160$ 。

进阶：中项的大小

同样两端，中项的大小

$0 < a < b$ 时， $a, s, b$ 成等差， $a, g, b$ 成等比，且 $g > 0$ ，则 $s = \frac{a + b}{2}, g = ab$ 。因为 $s - g = \frac{( b - a ) ^{2}}{2} > 0$ ，所以等差的中项更大。例如 $1$ 和 $4$ 之间， $s = 2.5$ ， $g = 2$ 。比较这类大小时，可以用这个关系，或者代入具体数值先看方向。

进阶：三数变换

例 4：变换后成等比

三个数成等差数列，和为 $15$ 。依次加上 $1, 3, 9$ 后成等比数列，求这三个数。

怎么看出来：

和已知，用对称写法 $5 - d, 5, 5 + d$ 就只剩一个未知数。

解：

三数和为 $15$ ，中间数是 $5$ 。变换后是 $6 - d, 8, 14 + d$ ，所以 $(6 - d) (14 + d) = 64$ ，整理得 $d^{2} + 8 d - 20 = 0$ ，即 $(d - 2) (d + 10) = 0$ 。 $d = 2$ 时三数为 $3, 5, 7$ ，变换后 $4, 8, 16$ ，成立。 $d = - 10$ 时三数为 $15, 5, - 5$ ，变换后 $16, 8, 4$ ，也成立。

答案：

$3, 5, 7$ 或 $15, 5, - 5$ 。

真题

按这个方法练 · 7 题

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数列中的最值和恒成立：化成一个变量，配方求界，再验证能取到

用通项把要求的量化成一个变量的函数，配方求出界。求最大值、最小值还要找到真能取到的具体数列；求最佳常数还要说明再大一点就不成立。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

先减少变量

等差数列只有首项 $x$ 和公差 $d$ 两个量，等比数列只有首项和公比。把目标全部写成它们，例如 $a_{2}^{2} + a_{4}^{2} = (x + d)^{2} + (x + 3 d)^{2}$ 。若比较的是次数相同的式子的比值，如 $\frac{a _{2}^{2} + a _{4}^{2}}{a _{1}^{2}}$ ，先分出分母变量为零的情形，再除以相同次数，就只剩变量之比 $\frac{d}{x}$ 。单独求这种式子的最值时，不能随意把某个变量定成固定的数，那样会改变问题。

配方：平方数不小于零

$10 d^{2} + 8 x d + 2 x^{2} = 10 (d + \frac{2}{5} x)^{2} + \frac{2}{5} x^{2}$ ，所以这个式子总不小于 $\frac{2}{5} x^{2}$ 。配方能同时告诉我们下界，以及何时取到： $d = - \frac{2}{5} x$ 。恒成立问题，在最小值存在时就是看这个最小值；最小值不存在时，要比较它接近的边界，并单独判断等号。

最佳常数和最值的要求不同

求最大值、最小值，必须证明能取到。求“最大的 $λ$ ”分两步：一是证明这个 $λ$ 时不等式总成立；二是说明更大的 $λ$ 都不行。第二步最方便的是给出一个使等号成立的数列，但等号不一定取得到，用不断接近的数列也可以。例如 $1 + \frac{1}{n} \geq λ$ 对所有正整数 $n$ 成立，最大的 $λ$ 是 $1$ ，虽然等号从不成立。若除过某个量，如首项，要先看它等于零的情况。

先看一道例题

例 1：配方求最佳常数

求最大的实数 $λ$ ，使 $a_{2}^{2} + a_{4}^{2} \geq λ a_{1}^{2}$ 对任何等差数列都成立。

怎么看出来：

对任何数列成立，所以把首项 $x$ 和公差 $d$ 看成两个任意数，这是关于 $d$ 的二次式。

解：

$a_{2}^{2} + a_{4}^{2} = (x + d)^{2} + (x + 3 d)^{2} = 10 d^{2} + 8 x d + 2 x^{2} = 10 (d + \frac{2}{5} x)^{2} + \frac{2}{5} x^{2} \geq \frac{2}{5} x^{2}$ ，所以 $λ = \frac{2}{5}$ 成立。再看能否更大：取 $x = 5, d = - 2$ ， $a_{2} = 3, a_{4} = - 1$ ，左边 $= 10$ ， $a_{1}^{2} = 25$ ，所以 $λ \leq \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ 。

答案：

$λ$ 的最大值为 $\frac{2}{5}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
对任何等差数列恒成立，求最大的 $λ$	化成二次式配方，再给出等号成立的具体数列
只有一个条件，求平方和的最小值	用条件消成一个变量，配方
两项的平方和有上限，或线性式已知、求平方和最小	把目标写成这两项的线性式，用平方和恒等式（见进阶“平方和恒等式”）
公比或公差受符号、和的条件限制，求某一项的最大值	化成一个变量的函数，由条件定区间，比较导数为零的点和端点（见进阶“一元函数求最大值”）
下标 $m, n$ 满足 $m + n$ 为定值，求含 $m, n$ 的式子的最小值	先用不等式估计，等号不是整数就枚举（见进阶“下标是整数”）
三角形三边成等差或等比，求某量范围	写边长参数，定范围，判断端点是否退化（见进阶“三角形的边”）

三、怎么用

把目标写成一个变量。例如等差数列 $a_{1} = 1$ ，求 $a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ 的最小值： $a_{2}^{2} + a_{3}^{2} = (1 + d)^{2} + (1 + 2 d)^{2} = 5 d^{2} + 6 d + 2$ 。
写出变量的允许范围。题目没有限制公差， $d$ 可以是任意实数。
配方求界。 $5 d^{2} + 6 d + 2 = 5 (d + \frac{3}{5})^{2} + \frac{1}{5} \geq \frac{1}{5}$ 。
写出取到这个界的具体数列，代回。 $d = - \frac{3}{5}$ 时 $a_{2} = \frac{2}{5}, a_{3} = - \frac{1}{5}$ ， $\frac{4}{25} + \frac{1}{25} = \frac{1}{5}$ ，能取到。
取不到时要说清楚：下标不是整数就枚举，端点退化就写严格不等号。这里能取到，最小值就是下界。

四、再做一道

例 2：条件是某一项，求平方和的最小值

等差数列满足 $a_{7} = 5$ ，求 $a_{1}^{2} + a_{3}^{2}$ 的最小值。

怎么看出来：

这次目标不直接含已知的项。以 $a_{7}$ 为基准往回走， $a_{1}, a_{3}$ 都能写成 $5$ 减几倍的 $d$ ，就只剩一个变量。

解：

$a_{1} = 5 - 6 d, a_{3} = 5 - 4 d$ 。 $a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = (5 - 6 d)^{2} + (5 - 4 d)^{2} = 52 d^{2} - 100 d + 50$ 。配方： $52 (d - \frac{25}{26})^{2} + \frac{25}{13} \geq \frac{25}{13}$ 。取等要 $d = \frac{25}{26}$ ，此时 $a_{1} = - \frac{10}{13}, a_{3} = \frac{15}{13}$ ，平方和为 $\frac{100 + 225}{169} = \frac{25}{13}$ ， $a_{7} = - \frac{10}{13} + 6 \times \frac{25}{26} = 5$ ，符合。

答案：

最小值为 $\frac{25}{13}$ 。

五、容易错在哪

证明了下界不等于找到了最小值，还要写出一个能取到的具体数列。
除以首项或公差之前，要把它等于零的情况分出去。常数列常常就是取等的情况。
下标是正整数。不等式的等号需要分数下标时，这个值取不到，要枚举。
“只能无限接近”和“能取到”不同，写答案时用严格不等号，也不能说它是最大值。
导数为零的点要先判断在不在允许的区间内，再和端点比较（用导数的进阶路径）。

进阶：平方和恒等式

线性目标配平方约束

若 $x^{2} + y^{2} \leq K$ ，要求 $2 y - x$ 的范围，可以用恒等式 $5 (x^{2} + y^{2}) = (2 y - x)^{2} + (2 x + y)^{2}$ ，所以 $(2 y - x)^{2} \leq 5 K$ 。一般地， $(p y + r x)^{2} \leq (p^{2} + r^{2}) (x^{2} + y^{2})$ ，因为两边之差是 $(p x - ry)^{2} \geq 0$ 。 $p, r$ 不全为零时，等号对应 $(x, y) = t (r, p)$ ， $t$ 是某个实数。这个不等式也能反过来用：线性式已知时，求平方和的最小值。例如基础路径的例 2，设 $x = a_{1}, y = a_{3}$ ，则 $a_{7} = 3 y - 2 x = 5$ ，由 $13 (x^{2} + y^{2}) = (3 y - 2 x)^{2} + (3 x + 2 y)^{2} \geq 25$ 直接得 $x^{2} + y^{2} \geq \frac{25}{13}$ 。

进阶：一元函数求最大值 · 先修：导数与单调性、无穷等比数列的和

一元函数：在允许的区间上比较

目标是一个变量的多项式时，先用题目条件确定变量的区间，再比较导数为零的点和区间端点的函数值。例如 $f (q) = 6 q^{2} (2 - q) = 12 q^{2} - 6 q^{3}$ 的导数是 $24 q - 18 q^{2} = 6 q (4 - 3 q)$ ，在 $q > 0$ 的范围内，于 $q = \frac{4}{3}$ 处由增变减。若这个点不在区间内，最大值就在端点。端点若取不到，要说明是“只能接近”，那时就没有最大值。

例 3：一元函数求某一项的最大值

正项无穷等比数列的所有项之和为 $1$ ，求 $a_{3}$ 的最大值。

怎么看出来：

和为 $1$ 把首项和公比绑在一起，于是 $a_{3}$ 只是公比的函数，而公比的范围是 $0 < q < 1$ 。

解：

$∣ q ∣ < 1$ 时，无穷等比数列的和是 $\frac{a _{1}}{1 - q}$ ，所以 $\frac{a _{1}}{1 - q} = 1$ ， $a_{1} = 1 - q$ ， $a_{3} = q^{2} (1 - q) = q^{2} - q^{3}$ ， $0 < q < 1$ 。导数 $2 q - 3 q^{2} = q (2 - 3 q)$ 在 $q = \frac{2}{3}$ 处由正变负，所以这里最大，值为 $\frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$ 。两端 $q \to 0$ 、 $q \to 1$ 时都接近 $0$ 。此时 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，数列 $\frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{4}{27}, \dots$ 的和确实是 $1$ 。若不要求各项为正，允许 $- 1 < q < 0$ ，当 $q$ 接近 $- 1$ 时 $a_{3}$ 接近 $2$ 但取不到，就没有最大值了，可见范围决定答案。

答案：

最大值为 $\frac{4}{27}$ 。

进阶：下标是整数

下标是整数时，等号可能取不到

$m + n = 10$ 时， $\frac{1}{m} + \frac{9}{n} = \frac{1}{10} (\frac{1}{m} + \frac{9}{n}) (m + n) = \frac{1}{10} (10 + \frac{n}{m} + \frac{9 m}{n}) \geq \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$ ，这里用了 $\frac{n}{m} + \frac{9 m}{n} \geq 6$ ，因为差是 $\frac{( n - 3 m ) ^{2}}{mn} \geq 0$ 。等号要 $n = 3 m$ ，而 $m = \frac{5}{2}$ 不是整数。这时只能逐个枚举正整数 $m, n$ 。

例 4：下标是整数，等号取不到

公差不为零的等差数列中，正整数 $m, n$ 满足 $a_{m} + a_{n} = 2 a_{5}$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{9}{n}$ 的最小值。

怎么看出来：

$a_{m} + a_{n} - 2 a_{5} = (m + n - 10) d$ ，所以先得到 $m + n$ 。下标必须是正整数，要看等号能否取到。

解：

$(m + n - 10) d = 0$ ， $d \neq = 0$ ，所以 $m + n = 10$ 。由不等式得 $\frac{1}{m} + \frac{9}{n} \geq \frac{8}{5}$ ，等号要 $n = 3 m$ ， $m$ 不是整数，取不到。枚举： $(m, n) = (1, 9)$ 得 $2$ ； $(2, 8)$ 得 $\frac{13}{8}$ ； $(3, 7)$ 得 $\frac{34}{21}$ ； $(4, 6)$ 得 $\frac{7}{4}$ ； $(5, 5)$ 得 $2$ ； $m \geq 6$ 时 $n \leq 4$ ， $\frac{9}{n} \geq \frac{9}{4}$ ，都更大。比较 $\frac{34}{21}$ 和 $\frac{13}{8}$ ： $34 \times 8 = 272 < 273 = 13 \times 21$ ，所以 $\frac{34}{21}$ 最小。

答案：

最小值为 $\frac{34}{21}$ 。

进阶：三角形的边 · 先修：海伦公式（例题中当场说明）

三角形的边成等差

设三边为 $b - d, b, b + d$ ，平方和为 $3 b^{2} + 2 d^{2}$ ，其中 $d$ 可以取 $0$ 。构成三角形要 $(b - ∣ d ∣) + b > b + ∣ d ∣$ ，即 $b > 2∣ d ∣$ 。这样 $d$ 的范围就确定了，再把 $b$ 用 $d$ 表示，或反过来。

例 5：边界取不到的范围

三角形三边成等差数列，周长为 $12$ ，求面积的取值范围。

怎么看出来：

周长定下中间边，只剩公差一个变量。三角形的要求决定公差的范围，面积用三边公式（海伦公式）表示。

解：

中间边 $b = 4$ ，三边为 $4 - d, 4, 4 + d$ （ $d \geq 0$ ）。构成三角形要 $(4 - d) + 4 > 4 + d$ ，即 $d < 2$ 。半周长为 $6$ ，海伦公式说面积的平方等于半周长乘半周长与三边之差的积： $6 (2 + d) \cdot 2 \cdot (2 - d) = 12 (4 - d^{2})$ 。 $d = 0$ 时是等边三角形，面积平方为 $48$ ，面积最大 $43$ 。 $d$ 接近 $2$ 时面积接近 $0$ ，但 $d = 2$ 时三点共线，取不到。

答案：

$0 < 面积 \leq 43$ 。

真题

按这个方法练 · 8 题

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数列的项或项号是整数的题：用整除和分母缩小范围，再逐个检查

整数比实数“挑剔”得多：项号必须是整数、分母要被约掉、有界的整数只有几个。用这些限制把可能性缩到有限个，再一个个代回去。

完整讲解 · 例题 · 可练 15 题

一、是什么

项号是整数：相差要被公差整除

若 $A, B$ 分别是等差数列的第 $i, j$ 项，则 $B - A = (j - i) d$ ，其中 $j - i$ 是整数； $B$ 在 $A$ 之后时它是正整数，就是相隔的步数。多个项之差必须都是 $d$ 的整数倍。例如 $3, 15, 33$ 依次在数列中， $12 = p d, 18 = s d$ ，所以 $\frac{p}{s} = \frac{2}{3}$ ，可写 $p = 2 k, s = 3 k$ ， $d = \frac{6}{k}$ ， $k$ 是正整数。

和的因数分解：奇偶不同

$n$ 个从 $a$ 开始的连续整数之和为 $S$ 时， $2 S = n (2 a + n - 1)$ 。两个因子 $n$ 和 $2 a + n - 1$ 的奇偶性不同，因为它们的和 $2 a + 2 n - 1$ 是奇数；当 $a \geq 1$ 时后者还大于前者。这样 $n$ 只能在 $2 S$ 的因数里挑。更一般的等差数列也类似： $2 S = n (2 a_{1} + (n - 1) d)$ 。

判定存在要给出项号

上面的步骤大多只得到“必须满足”的条件。要说某个数“是”数列的项，必须写出它的项号；要说“不能确定”，要各给一个数列，一个含它，一个不含。

先看一道例题

例 1：公差只有几种可能

公差为正的无穷等差数列中，依次出现 $3, 15, 33$ （不一定相邻）。（1）求公差的所有可能值的形式；（2）若各项都是整数，公差能取哪些值？

怎么看出来：

项与项的差都是公差的整数倍，先把两个差的比写出来。

解：

（1） $15 - 3 = 12 = p d, 33 - 15 = 18 = s d$ ， $p, s$ 为正整数，所以 $\frac{p}{s} = \frac{2}{3}$ ， $p = 2 k, s = 3 k$ ， $d = \frac{12}{2 k} = \frac{6}{k}$ ， $k$ 是正整数。反过来，任何这样的 $d$ 都可以：从 $3$ 走 $2 k$ 步到 $15$ ，再走 $3 k$ 步到 $33$ 。（2）首项不一定是 $3$ ，但 $3$ 和下一项都是整数，所以 $d$ 是整数。 $\frac{6}{k}$ 是整数， $k$ 只能是 $1, 2, 3, 6$ ，对应 $d = 6, 3, 2, 1$ 。检查： $d = 6$ 时有 $3, 9, 15, 21, 27, 33$ ，都含； $d = 1$ 时数列是连续整数， $3, 15, 33$ 都在其中。

答案：

（1） $d = \frac{6}{k}$ ， $k$ 是正整数；（2） $d = 1, 2, 3, 6$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
几个数依次是等差数列的项，但不一定相邻	差都是 $d$ 的整数倍，求差的公共倍数关系
某数能否写成连续正整数之和	$2 S = n (2 a + n - 1)$ ，两因子奇偶不同
等比数列各项是整数，公比是分数或在某区间内	$q = \frac{m}{r}$ 最简， $r^{L - 1}$ 整除首项（见进阶“公比是分数”）
含公比的式子有界，且必须是整数	用判别式或大小估计定范围，再逐个检查（见进阶“有界的整数”）
数列某项的平方仍是数列的项	写成带整数项号的等式，相减后用分母和同余（见进阶“项的平方还是项”）
带分数的项或和是整数，求首项绝对值的最小值	乘分母化成非零整数，得下界，再写出项号（见进阶“放大成整数”）

三、怎么用

把“是某一项”写成带整数变量的等式。例如各项为正整数的等差数列首项为 $1$ ，含有 $19$ ，公差是正数：设 $19$ 是第 $n$ 项，则 $18 = (n - 1) d$ 。
用整除或大小估计，把整数变量限制在有限范围内。各项为正整数，所以 $d$ 是正整数， $n - 1$ 也是正整数，它们都是 $18$ 的因数。
有限的情况全部列出。 $d$ 只能是 $1, 2, 3, 6, 9, 18$ ，比如 $d = 4$ 时 $18$ 不是 $4$ 的倍数，要舍去。
回代得到具体数列。 $d = 6$ 时数列是 $1, 7, 13, 19$ ， $19$ 是第 $4$ 项；其他每个 $d$ 用同一个式子 $n = \frac{18}{d} + 1$ 写出项号。
存在性要写出例子，否定要写出理由。这里 $d = 18$ 时项号 $n = 2$ ， $d = 1$ 时项号 $n = 19$ ，都能取到。

四、再做一道

例 2：不能写成连续整数之和

证明： $64$ 不能写成至少 $2$ 个连续正整数之和，而 $65$ 可以。

怎么看出来：

求和式能分解因数，两个因子奇偶不同，而 $128$ 没有大于 $1$ 的奇因数。

解：

设从 $a$ 开始的 $n$ 个数（ $n \geq 2$ ）之和为 $64$ ，则 $n (2 a + n - 1) = 128$ 。两因子的和 $2 a + 2 n - 1$ 是奇数，所以一奇一偶。 $128 = 2^{7}$ 的奇因数只有 $1$ ，所以其中的奇因子必须等于 $1$ 。可是 $n \geq 2$ ，且 $2 a + n - 1 \geq n + 1 \geq 3$ ，两个因子都大于 $1$ ，矛盾。 $65 = 32 + 33$ 可以。

答案：

命题得证。

五、容易错在哪

各项为整数，不代表公比是整数： $81, 108, 144$ 的公比是 $\frac{4}{3}$ 。
不先限定范围就开始枚举，会没完没了。先用大小估计，把整数限定在有限个里。
只推出了必须满足的条件，还不能说存在。要写出具体的项号或数列。
判断判别式时，有理数的平方要求最简分数的分子分母都是平方数， $\frac{7}{2}$ 不算。
不要预先假设首项或公差是整数，它们可能是分数，要从条件中推出来。

进阶：公比是分数

等比的公比：写成最简分数

整数项的等比数列，相邻两项之比是有理数，所以公比是有理数，但不一定是整数： $8, 12, 18, 27$ 的公比是 $\frac{3}{2}$ 。设 $q = \frac{m}{r}$ ，且 $m, r$ 没有公因数。第 $L$ 项 $a_{1} \frac{m ^{L - 1}}{r ^{L - 1}}$ 是整数，所以 $r^{L - 1}$ 整除 $a_{1}$ 。于是 $a_{1} = k r^{L - 1}$ ，第 $L$ 项是 $k m^{L - 1}$ 。各项都是正整数时 $k \geq 1$ ，所以在题目对公比的限制下，第 $L$ 项的最小值就看 $m^{L - 1}$ 最小能是多少。

例 3：有理公比，分母约去

等比数列前 4 项都是正整数， $a_{1} = 54$ ，公比不是整数且大于 $1$ ，并且 $a_{4} < 500$ 。求所有可能的公比。

怎么看出来：

公比是最简分数，分母的 3 次方必须整除首项，首项固定，分母就只有几种。

解：

设 $q = \frac{m}{r}$ ， $m, r$ 没有公因数， $r \geq 2$ 。 $a_{4} = 54 \frac{m ^{3}}{r ^{3}}$ 是整数，所以 $r^{3}$ 整除 $54 = 2 \times 27$ ，只能 $r = 3$ 。于是 $a_{4} = 2 m^{3} < 500$ ， $m \leq 6$ ；又 $m > 3$ ，且 $3$ 不整除 $m$ ，所以 $m = 4$ 或 $5$ 。检查： $q = \frac{4}{3}$ 时为 $54, 72, 96, 128$ ； $q = \frac{5}{3}$ 时为 $54, 90, 150, 250$ ，都符合。

答案：

$q = \frac{4}{3}$ 或 $q = \frac{5}{3}$ 。

进阶：三项和的固定形式

三项和的固定形式

3 个成等比的正整数都可写成 $k r^{2}, k r m, k m^{2}$ ，和为 $k (r^{2} + r m + m^{2})$ 。要 3 个数互不相同，就要 $r \neq = m$ 。所以一个数能否表示成这种和，只要看它有没有形如 $r^{2} + r m + m^{2}$ 的因数，如 $7 = 1 + 2 + 4$ 、 $13 = 1 + 3 + 9$ 、 $19 = 4 + 6 + 9$ 。

进阶：有界的整数 · 先修：二次方程判别式

有界的整数只有几个

若某个式子的值被夹在一个范围内，又必须是整数，就只有有限个值，逐个检查。范围常用判别式求：令 $t = \frac{1 + q ^{2}}{1 + q + q ^{2}}$ ，整理成关于 $q$ 的方程， $q$ 是实数要求判别式不小于零。若 $q$ 还是有理数，判别式必须是有理数的平方，例如 $q^{2} + q + 1 = \frac{19}{9}$ 的判别式是 $\frac{49}{9}$ ，是有理数的平方，方程化为 $(3 q - 2) (3 q + 5) = 0$ ，有理根是 $q = \frac{2}{3}$ 和 $q = - \frac{5}{3}$ 。两个根都要留下，再看题目的条件：只有题目限定 $q > 0$ 时才舍去 $- \frac{5}{3}$ 。

例 4：有界整数逐个筛选

非零实数 $q$ 是等比数列的公比， $\frac{a _{1} + a _{3}}{a _{1} + a _{2} + a _{3}}$ 是整数，求 $q$ 。

怎么看出来：

约去首项后是 $q$ 的分式，它的值有上下界，所以整数只有几个。分母 $1 + q + q^{2} > 0$ ，不用担心为零。

解：

比值 $t = \frac{1 + q ^{2}}{1 + q + q ^{2}}$ ，整理得 $(t - 1) q^{2} + tq + (t - 1) = 0$ 。 $t = 1$ 时得 $q = 0$ ，舍去。 $t \neq = 1$ 时 $q$ 是实数要求判别式 $t^{2} - 4 (t - 1)^{2} \geq 0$ ，解得 $\frac{2}{3} \leq t \leq 2$ 。所以整数 $t$ 只能再取 $2$ ，方程变成 $q^{2} + 2 q + 1 = 0$ ， $q = - 1$ 。检查：数列 $1, - 1, 1$ ， $\frac{1 + 1}{1 - 1 + 1} = 2$ 。

答案：

$q = - 1$ 。

进阶：项的平方还是项

项的平方还是项，就用同余

若 $a_{1}^{2}, a_{2}^{2}$ 都是项，写成 $a_{1}^{2} = a_{1} + i d, a_{2}^{2} = a_{1} + j d$ ，其中 $i, j$ 是整数。相减得 $d (2 a_{1} + d) = (j - i) d$ ， $d \neq = 0$ 时 $2 a_{1} + d$ 是整数。只能先得到这个组合，不能说 $d$ 或 $2 a_{1}$ 分别是整数： $a_{1} = \frac{5 - 1}{2}, d = 2 - 5$ 时 $a_{1}^{2} = a_{2}, a_{2}^{2} = a_{3}$ ，而 $d, 2 a_{1}$ 都不是整数。要分开它们需要更多条件，比如再有一个平方是项，或首项已知，然后回到原等式看分母（用同余，即只看除以某数的余数）。不要预先假设首项或公差是整数。

例 5：项的平方也是项

证明：首项为 $\frac{1}{2}$ 、公差 $d \neq = 0$ 的等差数列，不可能同时含有 $a_{1}^{2}$ 和 $a_{2}^{2}$ 这两项。

怎么看出来：

“是某一项”就是带整数项号的等式，先用它们相减，得到公差的信息。

解：

假设都是项，则有整数 $i, j$ 使 $a_{1}^{2} = a_{1} + i d$ ， $a_{2}^{2} = a_{1} + j d$ 。相减： $a_{2}^{2} - a_{1}^{2} = (j - i) d$ ，而左边 $= d (2 a_{1} + d) = d (1 + d)$ 。约去 $d \neq = 0$ 得 $1 + d = j - i$ ，所以 $d$ 是整数。再看第 1 个等式： $\frac{1}{4} = \frac{1}{2} + i d$ ，即 $i d = - \frac{1}{4}$ 。可是 $i, d$ 都是整数， $i d$ 也是整数，矛盾。

答案：

不可能，命题得证。

进阶：放大成整数

放大成整数，求绝对值的下界

某个带分数的式子是整数时，两边同乘分母，得到“某个倍数的未知量是整数”，如 $6 x$ 是整数。若又知 $x \neq = 0$ ，则 $6 x$ 是非零整数，绝对值至少为 $1$ ，所以 $∣ x ∣ \geq \frac{1}{6}$ 。最后还要写出具体的项号，说明 $\frac{1}{6}$ 真能取到。

例 6：放大成非零整数

公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列，首项不为 $0$ ，存在连续 3 项之和是整数。求 $∣ a_{1} ∣$ 的最小值。

怎么看出来：

连续 3 项之和等于 $3$ 乘中间项，项号是整数，乘分母就能得到关于 $a_{1}$ 的整数条件。

解：

第 $j + 1, j + 2, j + 3$ 项（ $j \geq 0$ ）之和为 $3 a_{j + 2} = 3 a_{1} + \frac{3 ( j + 1 )}{2} = N$ ， $N$ 是整数。乘 $2$ 得 $6 a_{1} = 2 N - 3 (j + 1)$ ，是整数； $a_{1} \neq = 0$ ，所以它是非零整数， $∣6 a_{1} ∣ \geq 1$ ， $∣ a_{1} ∣ \geq \frac{1}{6}$ 。取 $a_{1} = \frac{1}{6}$ ， $j = 0$ ： $\frac{1}{6}, \frac{2}{3}, \frac{7}{6}$ 的和是 $2$ ，能取到。

答案：

最小值为 $\frac{1}{6}$ 。

真题

按这个方法练 · 15 题

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等差相邻项的式子和方程根成等差：选中间项展开，比较系数

所有项都写成同一个基准加几倍公差，展开时平方部分常常抵消。方程的根成等差时，把中间的根挪到原点，系数就很好比较。

完整讲解 · 例题 · 可练 5 题

一、是什么

选基准：别让首项到处出现

条件只涉及相邻几项时，取 $x = a_{n}$ ，相邻项写成 $x + d, x + 2 d, x - d$ 。这样下标 $n$ 就不出现了，算出的结果对每个 $n$ 都成立。

二次部分为什么会抵消

两个乘积相减时， $x^{2}$ 的系数都是 $1$ ，所以抵消，只剩 $x$ 的一次式： $(x + d) (x + 3 d) - x (x + 2 d) = 2 x d + 3 d^{2}$ 。而 $x = a_{n}$ 每走一步加 $d$ ，所以这个差每步加 $2 d^{2}$ ，是公差为 $2 d^{2}$ 的等差数列。这就是为什么“乘积差”常常还是等差数列。

3 个数：用对称写法

三数成等差可写作 $x - h, x, x + h$ 。和是 $3 x$ ，平方和是 $3 x^{2} + 2 h^{2}$ ，积是 $x (x^{2} - h^{2})$ 。 $h$ 的一次项在和里消失，所以和能直接给出中间项。

先看一道例题

例 1：相邻项乘积之差

等差数列 ${a_{n}}$ 公差为 $d$ ， $c_{n} = a_{n + 1} a_{n + 3} - a_{n} a_{n + 2}$ 。（1）证明 ${c_{n}}$ 是等差数列；（2）若 ${c_{n}}$ 的公差也是 $d$ ， $d \neq = 0$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{4}$ ，求 $c_{1}$ 。

怎么看出来：

只涉及连续 4 项，取 $x = a_{n}$ ，展开后 $x^{2}$ 会消掉。

解：

（1） $c_{n} = (x + d) (x + 3 d) - x (x + 2 d) = 2 x d + 3 d^{2}$ 。 $x = a_{n}$ ，所以 $c_{n + 1} - c_{n} = 2 d \cdot d = 2 d^{2}$ ，是常数， ${c_{n}}$ 是等差数列。（2） $2 d^{2} = d$ ， $d \neq = 0$ ，所以 $d = \frac{1}{2}$ 。 $c_{1} = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{4} = 1$ 。检查： $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} = \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}$ ， $c_{1} = \frac{3}{4} \times \frac{7}{4} - \frac{1}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{21 - 5}{16} = 1$ 。

答案：

（1）得证，公差为 $2 d^{2}$ ；（2） $c_{1} = 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$a_{n + 1} a_{n + 3} - a_{n} a_{n + 2}$ 这样相邻项乘积之差	取 $x = a_{n}$ ，展开后二次项抵消
证明新构造的数列是等差数列	相邻两项作差，或化成 $a_{n}$ 的一次式
已知 3 个数成等差，和、积已知	设 $x - h, x, x + h$ ，和直接给出 $x$
三次方程的 3 个根成等差	中间根 $= - \frac{a}{3}$ ，移到原点，比较系数（见进阶“方程的根成等差”）
只含 $x^{4}, x^{2}$ 和常数项的方程，根成等差	根为 $\pm t, \pm 3 t$ ，比较系数（见进阶“方程的根成等差”）

三、怎么用

选当前项为 $x$ ，其他项写成 $x + j d$ ，核对偏移的位数。例如 $c_{n} = a_{n + 1}^{2} - a_{n} a_{n + 2}$ ：取 $x = a_{n}$ ，则 $a_{n + 1} = x + d, a_{n + 2} = x + 2 d$ 。
展开，看二次部分是否抵消。 $(x + d)^{2} - x (x + 2 d) = x^{2} + 2 x d + d^{2} - x^{2} - 2 x d = d^{2}$ ， $x^{2}$ 和 $2 x d$ 都消掉了。
读出结果的形状。这里 $c_{n} = d^{2}$ 是常数，与 $n$ 无关，所以 ${c_{n}}$ 是常数列。
联立其他条件，不直接约分。若又知 $c_{n} = 4$ ，则 $d^{2} = 4$ ， $d = 2$ 或 $d = - 2$ ，两个都留下。
写出具体数值确认。 $d = 2$ 时取 $1, 3, 5$ ： $3^{2} - 1 \times 5 = 4$ 。 $d = - 2$ 时取 $5, 3, 1$ ： $3^{2} - 5 \times 1 = 4$ 。

四、再做一道

例 2：对称写法

三个数成等差数列，和为 $12$ ，积为 $28$ ，求这三个数。

怎么看出来：

设中间数和偏移量，和直接给出中间数。

解：

设 $x - h, x, x + h$ ， $3 x = 12$ ， $x = 4$ 。积为 $4 (16 - h^{2}) = 28$ ，所以 $h^{2} = 9$ ， $h = \pm 3$ ，两者给出同一组数。

答案：

$1, 4, 7$ 。

五、容易错在哪

偏移量最容易写错一位： $a_{n + 3}$ 相对 $a_{n + 1}$ 只差 $2 d$ ，不是 $3 d$ 。
约去公差前要说明它不为零，否则会漏掉常数列。
方程的根：比较系数只得到必要条件，要反向展开，并确认 3 个或 4 个根是互不相同的实数。
四次方程的 4 个等差根是 $\pm t, \pm 3 t$ ，不是 $\pm t, \pm 2 t$ ，后者相邻差不相等。

进阶：方程的根成等差 · 先修：因式分解与方程的根

三次方程的根成等差：把中间根挪到原点

若 $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ 的 3 个根是 $u, v, w$ ，则左边等于 $(x - u) (x - v) (x - w) = x^{3} - (u + v + w) x^{2} + \dots$ 。比较 $x^{2}$ 的系数，得 $u + v + w = - a$ 。根成等差时，3 根之和是中间根的 3 倍，所以中间根是 $x_{0} = - \frac{a}{3}$ 。设 $y = x - x_{0}$ ，方程变成 $y^{3} + p y + r = 0$ （没有 $y^{2}$ 项）。根为 $- h, 0, h$ ，等价于因式 $y (y^{2} - h^{2})$ ，所以要求 $r = 0$ ，且 $p = - h^{2}$ 。

四次方程的根成等差：左右对称

$x^{4} + B x^{2} + C = 0$ 只含偶次项， $x$ 是根时 $- x$ 也是根，所以 4 个根关于 $0$ 对称。成等差时，中间两根记为 $\pm t$ （ $t > 0$ ），相邻差就是 $2 t$ ，外面两根只能是 $\pm 3 t$ 。因式是 $(x^{2} - t^{2}) (x^{2} - 9 t^{2}) = x^{4} - 10 t^{2} x^{2} + 9 t^{4}$ ，比较系数得 $B = - 10 t^{2}, C = 9 t^{4}$ 。例如 $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ 的根是 $\pm 1, \pm 3$ 。

为什么要反向检查

比较系数得到的通常先是必要条件。把结果代回去展开，看它能否还原方程，并且确认根都是实数、互不相同，这才完整。题目要充分必要条件时更不能省。

例 3：三次方程的根成等差

方程 $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x + c = 0$ 的 3 个根成等差数列，求 $c$ 和这 3 个根。

怎么看出来：

3 根之和是 $6$ ，中间根是 $2$ ，移到原点。

解：

设 $y = x - 2$ ，代入： $(y + 2)^{3} - 6 (y + 2)^{2} + 11 (y + 2) + c = y^{3} - y + 6 + c$ 。根关于 $y = 0$ 对称且 $0$ 是根，所以常数项为零， $c = - 6$ 。此时 $y^{3} - y = y (y - 1) (y + 1)$ ， $y = - 1, 0, 1$ ，所以 $x = 1, 2, 3$ 。反向检查： $(x - 1) (x - 2) (x - 3) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ ，与原方程相同。

答案：

$c = - 6$ ，根为 $1, 2, 3$ 。

例 4：两个二次方程的根合起来成等差

方程 $(x^{2} - 5 x + p) (x^{2} - 5 x + r) = 0$ 的 4 个根互不相同，从小到大成等差数列，最小的根是 $1$ 。求 $p, r$ 。

怎么看出来：

两个二次方程的两根之和都是 $5$ ，所以 4 个根关于 $\frac{5}{2}$ 左右对称，用对称配对。

解：

设 4 个根为 $1, 1 + d, 1 + 2 d, 1 + 3 d$ （ $d > 0$ ）。它们关于 $\frac{5}{2}$ 对称，所以首尾之和 $2 + 3 d = 5$ ， $d = 1$ ，根为 $1, 2, 3, 4$ 。每个二次方程的两根之和为 $5$ ，只能配成 ${1, 4}$ 和 ${2, 3}$ ，两根之积分别为 $4, 6$ 。反向检查： $(x - 1) (x - 4) = x^{2} - 5 x + 4$ ， $(x - 2) (x - 3) = x^{2} - 5 x + 6$ 。

答案：

${p, r} = {4, 6}$ 。

进阶：与等比条件联用

与等比或整数条件联用

展开后得到的新公差，可以和题目另外给的公差、等比或整数条件列方程。例如等差数列 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比，取 $x = a_{3}$ ，得 $(x - d) (x + 3 d) = x^{2}$ ，化简得 $d (2 x - 3 d) = 0$ 。公差为零的情况也要单独说明。

例 5：中间项为基准，再联用等比

公差 $d \neq = 0$ 的等差数列中， $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 依次成等比数列，求公比。

怎么看出来：

取中间的 $a_{3} = x$ ，方程里的 $x^{2}$ 会抵消。

解：

$a_{2} = x - d, a_{6} = x + 3 d$ ，所以 $(x - d) (x + 3 d) = x^{2}$ ，展开得 $2 x d - 3 d^{2} = 0$ 。 $d \neq = 0$ ，所以 $x = \frac{3}{2} d$ 。公比 $= \frac{a _{3}}{a _{2}} = \frac{\frac{3}{2} d}{\frac{1}{2} d} = 3$ 。检查：取 $d = 2$ ， $a_{2}, a_{3}, a_{6} = 1, 3, 9$ 。

答案：

公比为 $3$ 。

真题

按这个方法练 · 5 题

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误区对照

容易误以为

等比前 $n$ 项和一律是 $a_{1} (1 - q^{n}) / (1 - q)$ ； $q = 1$ 时分子为零，所以和也为零。

应当这样想

这个分式要求 $q \neq = 1$ ； $q = 1$ 时每项都是 $a_{1}$ ，故 $S_{n} = n a_{1}$ 。例如四项全为 $3$ 时和为 $12$ 。

为什么

分母为零不能套分式， $0/0$ 既不是零也不是合法数值。

容易误以为

已知 $S_{n} = n^{2} + 1$ （ $n \geq 1$ ），所以所有 $n \geq 1$ 都有 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 2 n - 1$ 。

应当这样想

首项为 $a_{1} = S_{1} = 2$ ； $n \geq 2$ 才能用给出的多项式计算 $S_{n - 1}$ ，得 $a_{n} = 2 n - 1$ 。若另定义 $S_{0} = 0$ ，它也不等于该多项式在零点的值 $1$ 。

为什么

部分和的给定公式有下标范围，不能把未定义的 $S_{0}$ 擅自外推。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 89 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

等比数列与等差数列

从这里开始

知识要点

方法卡

等差数列的项与和：用首项和公差消元，再求值或定范围

一、是什么

通项：相隔几项就差几个公差

求和：项数乘平均数

下标和相等，项的和就相等

由和求项：首项要单独算

先看一道例题

例 1：由一项和一个和求数列

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：两个条件都用中项

五、容易错在哪

和的形状：约去 n 后是一次式

两种比不能混：项的比要换成和的比

例 3：由和之比求通项

和的最大值和正负

例 4：和的最大值与变号

例 5：负公差时的下标不等式

等长分段的和仍成等差

例 6：奇数位置与偶数位置分开求和

看出等比关系的题：求公比，整段提公因子，再定范围

一、是什么

通项和公比的正负

整段平移：提出公比的幂

乘积：下标和相等就配对

求和公式要分 q=1

先看一道例题

例 1：整段提公比

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：求和不要漏掉公比为 1

五、容易错在哪

藏起来的等比：先化成相邻两项的关系

和的递推关系

例 3：和的递推求首项与公比

无限项的和

例 4：藏起来的等比与取不到的上界

长度成等比，先写范围

例 5：长度成等比定范围

两段和之差求最小值

例 6：乘积固定求和的最小值

等差和等比同时出现的题：统一用一组未知数列方程，再排除错误情况

一、是什么

选一个基准，其他项都用它表示

两个条件：等比看平方，等差看 2 倍

别忘了公差为零的情况

先看一道例题

例 1：公差为零也是一种情况

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：等比数列变换后成等差

五、容易错在哪

多于 3 项时，后面要沿用同一个公比

逐项相乘：把两个首项合并

例 3：两种数列逐项相乘

同样两端，中项的大小

例 4：变换后成等比

数列中的最值和恒成立：化成一个变量，配方求界，再验证能取到

一、是什么

先减少变量

配方：平方数不小于零

最佳常数和最值的要求不同

先看一道例题

例 1：配方求最佳常数

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：条件是某一项，求平方和的最小值

五、容易错在哪

线性目标配平方约束

一元函数：在允许的区间上比较

例 3：一元函数求某一项的最大值

下标是整数时，等号可能取不到

求和公式要分 $q = 1$