2012 年中科大少年班初试 · 第 11 题

解答

因 $(A+B)/2=\pi /2-C/2$，首条件化为 $\cos C+\cos 2C=0$。令 $u=\cos C$，得 $(2u-1)(u+1)=0$。$C\in (0,\pi )$ 排除 $u=-1$，所以 $\boxed{C=\pi /3}$。再由正弦定理，边条件等价于 ${\sin }^{2}C=2({\sin }^{2}B-{\sin }^{2}A)$。而 $\cos 2A-\cos 2B=2({\sin }^{2}B-{\sin }^{2}A)$，故所求为 $\boxed{3/4}$。