一试训练题

解答

若有三个同奇偶整数 $x<y<z$，则相邻两差都是偶素数，只能各为2，继而 $z-x=4$ 不是素数，矛盾。因此每种奇偶至多两元素，结合 $n\ge 4$，必有 $n=4$，两奇两偶。

设两奇数为 $u,u+2$，两偶数为 $v,v+2$，令奇数 $d=v-u$。交叉差的绝对值要求 $|d-2|,|d|,|d+2|$ 全为素数。令 $t=|d|\ge 3$，它们就是 $t-2,t,t+2$。三个连续奇数必有一个被3整除，而都为素数时这个数只能是3。$t=3$ 会含差1，$t+2=3$ 也不可能，故 $t=5$，即 $v=u\pm 5$。

因2023为奇数，奇数对只能为 $\{2021,2023\}$ 或 $\{2023,2025\}$。分别配上相差5的偶数对，全部解为

每组内部的差都为2、3、5或7，且均含2023，故四组都成立。