2014 年湖南预赛 · 第 16 题

解答

解两条特征方程并由初值定系数，得

记 $\alpha =1+\sqrt{2}>2,\beta =1-\sqrt{2}$，则 $|\beta |<1$，所以 $x_n>{\alpha }^n-1$，而 $y_n\le 2^{n+1}+1$。又 ${\alpha }^5=41+29\sqrt{2}>66$，故对所有 $n\ge 5$，

因此 $x_n>y_n$ 对 $n\ge 5$ 恒成立，取 $\boxed{n_0=4}$ 即可。