2017 年辽宁预赛 · 第 9 题

解答

由焦距二有 $c=1$。设 $P=(a,y)$，令 $z=|y|$，两焦向量的点积为 $a^2+y^2-1=b^2+z^2>0$，所以夹角在零至直角之间。其正切为 $2z/(b^2+z^2)$，由均值不等式不超过 $1/b$，等号在 $z=b$。最大角为 $\pi /4$，所以 $b=1,a=\sqrt{2}$。达到点共有两个：$\boxed{P=(\sqrt{2},1)\text{或}(\sqrt{2},-1)}$。