2011 年中科大少年班初试 · 第 8 题

解答

焦点为 $F=(1,0)$，准线横轴交点为 $C=(-1,0)$。角 $OFA=135^{\circ }$ 使射线 $FA$ 与正横轴成正或负四十五度，反射后可取焦弦 $y=x-1$。两点为 $A=(3+2\sqrt{2},2+2\sqrt{2}),B=(3-2\sqrt{2},2-2\sqrt{2})$。向量 $CA,CB$ 的点积为四，叉积绝对值为 $8\sqrt{2}$，所以夹角为锐角，$\boxed{\tan \angle ACB=2\sqrt{2}}$，选 A。