2025 年中科大少年班营一 · 第 4 题

解答

写 $n=3^{s}t$，其中 $3\nmid t$。由二项式展开，

所以 $f(4^t-1)=1$。若 $A\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，写 $A=1+3r$，则

括号不被三整除。根据 $A^3-1=(A-1)(A^2+A+1)$，有 $f(A^3-1)=f(A-1)+1$。 从 $A=4^t$ 起连续立方 $s$ 次，便得