2012 年湖北预赛 · 第 3 题

解答

按 $a_1$ 及其后一项的奇偶性分类。 若 $a_1$ 为奇数，则 $a_2=3a_1+1$ 为偶数，$a_3=(3a_1+1)/2$，因而

解得 $a_1=5$，确为正奇数。 若 $a_1$ 为偶数且 $a_2=a_1/2$ 为偶数，则 $a_3=a_1/4$，得 $a_1=116/7$，不是整数。 若 $a_1$ 为偶数而 $a_2=a_1/2$ 为奇数，则 $a_3=3a_1/2+1$，得 $29=3a_1+1$，即 $a_1=28/3$，仍不是整数。 三类互斥且穷尽。将 $5$ 代回，前三项为 $5,16,8$，和为 $29$。 所以 $\boxed{a_1=5}$。