2026 年中科大少年班入围考 · 第 18 题

解答

将任一有理根写成既约分数 $u/v$，其中 $v>0$。有理根定理给出 $v\mid 3$。若 $v=3$，代入原式得 $u^3=9(u^2-m)$，故 $3\mid u$，与既约矛盾。因此三根均为整数。 记三根为 $r_1,r_2,r_3$。韦达给出 $\sum r_i=3$、${\sum }_{i<j}{r}_i{r}_j=0$，所以 $\sum r_i^2=9$。三个整数平方和为9，只可能是9、0、0或4、4、1。再要求根和为3，前一种给出根3、0、0及 $m=0$，与正整数条件不合；后一种只能是根2、2、$-1$。根积为 $-m/3=-4$，故 $\boxed{m=12}$。