2010 年河南预赛（高二卷） · 第 14 题

解答

记 $r=OP,s=OQ$，则 $r,s>0$ 且 $rs\sin \theta =72$。重心向量为 $(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})/3$，故 $O{G}^2=(r^2+s^2+2rs\cos \theta )/9\ge 16\cot (\theta /2)$，等号当且仅当 $r=s$。所以 $\boxed{O{G}_{\min }=4\sqrt{\cot (\theta /2)}}$。令 $\phi =\theta /2$，以角平分线为横轴，另一轴垂直于它，两射线方向角为 $\pm \phi$。因 $M$ 为 $PQ$ 的中点，有 $X=(r+s)\cos \phi /2,Y=(r-s)\sin \phi /2$。利用固定乘积，得到 $\boxed{X^2/(36\cot \phi )-Y^2/(36\tan \phi )=1,X>0}$，即该双曲线的右支。