同一骨架 2022 年吉林预赛 · P006858
两题都先利用通项等于相邻部分和之差，把含前面全部项的信息压成一阶状态。一个直接以部分和为新数列，另一个先对相邻条件作差再减去特解；首项和递推起始指标都要单查。
前题得到可连乘的齐次式，后题先出现分式非齐次项，需要再平移一次才可还原通项。
培玉 · 一试
2026 年云南预赛
部分和递推数列及对数取整求和
F2解答题数列综合
已知数列 满足
- (1)
求数列 的通项公式；
- (2)
求
的值，其中 表示不超过 的最大整数。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
递推式直接含前 项和，因此引入 后可得到一阶乘法递推。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
通项求出后，取整只取决于 落在哪两个相邻的 的幂之间。
解答
(1) 令
对 ，题设给出
因而
由 ，连乘可得
所以
该式对 也成立，故
(2) 因为 为整数，
当 时，按 分段：
因此
复核
把 代入递推式，得 ，与通项 一致。四个取整区间的项数为 ，端点 均已归入较高幂对应区间。
方法总结
递推中出现“此前所有项之和”时，先设部分和，常能把加法递推变成乘法递推。 对数取整求和则先拆出整数项，再按底数的整数次幂分层计数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
令Sn后递推比直接成为3n/(n−1)并连乘相消，对数取整再按3、9、27、81的阈值分段统计。
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