同一骨架 2024 年甘肃预赛 · P006464
复杂总数可以拆成一批“这一项是否被计入”的指示量。两题都先求一个局部对象被计入的概率，再把这些概率相加求总期望，局部事件之间是否独立并不是这一步的前提。
一道菜是否被夹过与一对位置是否顺序，都是总数中的一小项。
培玉 · 一试
2020 年中科大少年班初试 · 第 8 题
F2填空题概率
设为正整数，从的全部个排列中等可能地抽取一个排列，记为
若且，则称为顺序对。 记为该排列的顺序对数，求。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
直接按所有排列的顺序对数分类较繁。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
对每个指标对记录是否构成顺序对，可以将总数写成指示变量之和，逐对计算期望；这一路线不要求各指示变量独立。
解答
对，令
则。固定，交换这两个位置上的数，将的排列与的排列一一对应。 由于全部排列等可能，故。期望的线性性给出
复核
时没有指标对，，与公式相符。若抽样集中于递增或递减排列，期望分别为或，所以补模型确有必要。
方法总结
将可数对象拆成局部事件，再用对称性求局部概率。先修为有限概率空间、指示变量、期望线性和组合数。 本补全稿评F2：在已掌握指示变量和期望线性的先修下，按位置对求和及交换配对属于常规模型；主要检验模型识别和线性期望的连续运用。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
掌握指示变量及期望线性后，位置对分解与交换配对是常规模型。
联系 · 4 条
同一骨架 2024 年山东预赛 · P006567
把随机排列中许多对象的贡献拆开后，两题都只需要很小一组对象的相对次序。对称性给出局部概率，再用期望线性性合并，而不用计算整个总数的分布。
剩余红球数与顺序对数的局部对象不同，相对次序的均匀性相同。
同一骨架 2022 年贵州预赛 · P006848
把整体量拆成局部贡献再求平均，两题都不需要局部贡献互相独立。每个小对象被计入多少次或以多大概率被计入，可以分别计算；平均值既能给出期望，也能保证至少一个对象不超过平均。
一个对循环短弧块作确定性的平均，另一个对随机排列中的位置对求期望。
同一骨架 2021 年广西预赛 · P006977
两题都用有限求和交换次序，先固定一个元素或一对位置，再统计它对所有对象的贡献。排列题把总贡献除以等可能排列的个数后得到期望，配对交换能求出每一对位置的平均贡献，指标之间无需独立。
前题汇总子集元素的权重，后题汇总排列中位置对的指示量，并使用题目明确的均匀抽样。
已记下，谢谢！