同一骨架 2026 年吉林预赛 · P006046
两题都从三角形条件失败的边界入手：最长一段达到或超过其余两段之和。把失败集合描述清楚后，一题对它建立代数下界来保证构形成立，另一题量出它在随机截点空间中占据的区域。
保证每一组数据都可行的阈值，与随机得到可行数据的概率，使用同一个几何失败边界。
培玉 · 一试
2021 年吉林预赛
F4解答题不等式的证明
设 。若对于满足
的任意一组正数 ，均存在以 为三边长的三角形， 求实数 的最大值，并说明理由。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
逆否命题与原命题等价：若不能组成三角形，证明必要条件失败。正边长中不能构成非退化三角形等价于某一边至少为另两边之和。
想法从哪来：“任意满足条件都成三角形”直接证明三条严格三角不等式较繁，不如研究失败时倒数平方和至少多大。把最长边不小于另两边之和作为反设，再取倒数，乘积上界变下界，退化条件也给出两个新变量乘积相对第三者的下界。两条乘积界一个随第三变量增大、一个随它减小，交会处提示自然分段；每段用平方和大于二倍乘积即可压到统一常数。最后取退化三角形恰达到这个常数作为反例，说明任何更大阈值都会失败。题中平方和是严格小于m，正使临界退化点在m等于临界值时被排除。
从命题的逆否方向出发：若三边不能构成三角形，证明倒数平方和至少为一个固定值。 令倒数为新变量后，退化三角形条件和乘积条件共同给出这一固定下界。
解答
先证明 满足要求。反设正数 不能构成三角形。 不妨设 ，并令
由 得
由 得
即
所以
另一方面，(1) 给出 。
若 ，由 (2) 及 ，
若 ，则
最后一个不等式可由函数 在 上递减得到。 因此，任何不能构成三角形的三元组都满足
于是当倒数平方和小于 时， 必能构成三角形， 故 可行。
再证不能更大。取
则 ，倒数平方和为
但 ，不能构成非退化三角形。对任意 ，这组三元组满足 倒数平方和小于 ，从而成为反例。
综上， 的最大值为 。
复核
下界中的等号可在 取得，正好对应 ；严格条件“倒数平方和 ” 因此允许临界值 ，但排除一切 。
方法总结
“所有满足条件的三边都成三角形”适合研究其逆否命题。 把边长取倒数后，乘积上界变为乘积下界，三角形不等式的失败也能转成可估计的代数约束； 最后用临界退化三角形证明常数最佳。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
从不成三角形反推倒数乘积与两变量乘积下界，按关键倒数是否超过1取不同估计，再用退化三边证明阈值最佳。
用到的方法（会透露解法方向）
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