2015 年河南预赛 · 第 7 题

思路

二阶导数为正意味着严格凸，因此 $f(x)+f(y)\ge 2f((x+y)/2)$，异点时严格大于。要先证明凸性再用该不等式。

想法从哪来：两项在x与一减x处对称，先代中点能猜到候选最小值，但对称并不自动保证中点最小。直接对总和求导会出现两套分母；更简洁的方向是证明单项函数凸，再用中点不等式。单项二阶导数的分母始终为正，难处集中在一个含正弦、余弦的分子。把自变量缩成弧度t后，这个分子再求两次导数反而变成明显为正的量，于是可从零点的初值逐层推出正性。这里零只是辅助函数的端点，用连续延拓计算，不是把原函数在零处当作有定义。最后严格凸性还给出唯一取等点。

证明单个函数严格凸，再对互补输入使用中点不等式；凸性的高阶符号可以从零点初值逐层恢复。