培玉 · 一试

专题地图 › 不等式的证明

2021 年贵州预赛

F3解答题不等式的证明

设 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 均为非负实数。求证：

\frac{a _{1}}{a _{2}^{2} + \dots + a _{n}^{2}} + \frac{a _{2}}{a _{1}^{2} + a _{3}^{2} + \dots + a _{n}^{2}} + \dots + \frac{a _{n}}{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} + \dots + a _{n - 1}^{2}} \geq \frac{4}{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}} .

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

先核分式的自然定义域，以柯西合并循环分母，再用加权平方非负控制三次分母并核零项与共同取等。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：柯西不等式与投影、作差后证明非负

专题卡：证明不等式或求最值：两边作差，配成平方、平方和与线性式、分式和互相估计：用柯西不等式