同一骨架 2026 年广西预赛 · P006004
把两个面内方向都减去沿公共棱的投影，二面角就变成垂棱平面内两向量的夹角；棱长或坐标只是恢复这些数量积的两种入口。
前题从六条边恢复数量积，后题直接用长方体坐标；两题都要保指向指定半平面的符号，不能先取绝对值。
培玉 · 一试
2026 年重庆预赛
由六条棱求二面角
F3填空题空间角与距离
四面体 满足
则二面角 的余弦值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
二面角可化为 在垂直于棱 的平面上的 投影夹角。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
边长给出的三个数量积足以直接求出该夹角。
解答
以 为原点，记
由余弦定理的向量形式，
令 分别为 在 上的正交投影，则
并且
故二面角的余弦为
复核
两个投影的平方长度均为正，四面体不退化；所得余弦在 内。用投影差与沿 方向的分量差重构，得到 ，与原边长一致。
方法总结
已知四面体六条边而求二面角时，可把棱作为投影轴。先由边长恢复向量数量积，再删除 沿公共棱的分量，所得两个垂直投影的夹角就是二面角。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先将二面角改为两棱在AD垂面内的投影夹角，再由六条边长恢复所需数量积。
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