同一骨架 2025 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 5 题 · P007117
两题都在固定剩余参数后，找出乘积固定的一对正项，用均值不等式确定局部极值。读出等号比例只是第一步，还须核它能否与原来的区间或总和限制同时满足。
一题的极值决定每条截线的区域边界，随后还须证明中间值可达；另一题的等号比例与定和条件直接确定最值构型。
培玉 · 一试
2014 年安徽预赛 · 第 7 题
F3填空题积分的应用
设动点 、，其中参数 ，则线段 扫过的平面区域的面积是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先把线段上的点参数化，再固定纵坐标寻找所有可能的横坐标。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
这样可直接得到扫掠区域的水平截线，不会把不同参数扫到的重叠部分重复计入。
解答
线段 上的点可以写成
于是
固定 。此时 ，且 ，所以 ，而
由算术—几何平均不等式，
并在 时取等。另一方面，对 有 ，除以 得
所以 ，且 或 时取等。
函数 在闭区间 上连续，故在取得最小值和最大值之间覆盖全部中间值。因此高度 处扫过的横坐标恰为
当 时， 所给的整条底边为 ，也与该表达式一致。于是区域面积为
复核
取等参数 总在 内，因为 ；相应的 也合法。高度 时截线退化为点 ，高度 时为底边，两个端部均已覆盖。每条截线取的是所有线段的并集，因此没有把重叠面积重复相加。
方法总结
动线段扫掠面积可用固定高度或横坐标的截线法：写出点在线段上的参数，求一维可达范围，并证明中间值全能取到。确定区域后再积分，不能直接累加每根线段的贡献。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
动线段的并集面积不能直接累加线段贡献，须写线段内点的双参数表示，再固定高度求完整水平截线；证明两界及中间值可达后才积分。
联系 · 3 条
易混 2024 年贵州预赛 · P006501
两题都可以固定一层研究截线，但一个累积立体各高度的截面积，另一个求平面上动线段覆盖的并集。平面扫掠须先去掉重复覆盖并证明这一层所有位置可达，不能把每根线段的贡献直接当作体积式相加。
积分变量的物理含义不同：高度乘截面积给体积，横向长度沿纵坐标累积给面积。线段的运动参数也不一定等于最终积分变量。
同一骨架 2021 年浙江预赛 · P006928
两题都把区域问题先降为一维可达区间，确认每一层的真实两端，再积分其长度。交集需要同时满足边界，扫掠并集需要合并所有参数产生的位置；未经这一步得到的式子可能只描述外包区域。
一题的边界由两条直线取最小值并随窗口移动，另一题的边界由参数最值产生；两者都要核切换点或退化端层。
已记下，谢谢！