2013 年黑龙江预赛 · 第 10 题

解答

记 $c=|O{F}_2|=\sqrt{a^2+b^2}$。两焦点关于 $O$ 对称，故

题设点积为零说明 $P{F}_1\perp P{F}_2$。两线段均非零，因为焦点不在双曲线上。于是 $△F_{1}P{F}_2$ 是以 $F_1{F}_2$ 为斜边的直角三角形；图中的辅助圆仅表示这一关系。 设 $|P{F}_2|=r>0$，则 $|P{F}_1|=\sqrt{3}r$。由勾股定理，

又 $P$ 在右支，由双曲线定义得

因此离心率为

选 B。