2010 年辽宁预赛 · 第 6 题

解答

先取棱长一，允许平面为 $x+y+z=t$，$0\le t\le 3$。中心对称可只算 $0\le t\le 3/2$。当 $0\le t\le 1$，截面为三角形，面积 $\sqrt{3}{t}^2/2$。当 $1\le t\le 3/2$，第一卦限截距大三角形要去掉三个越过立方体面的角三角形，故实际面积为 $\sqrt{3}[t^2-3(t-1{)}^2]/2=\sqrt{3}[3/2-2(t-3/2{)}^2]/2$。最大在中心截面 $t=3/2$，等于 $3\sqrt{3}/4$。恢复棱长 $a$，得到 $\boxed{S_{\max }=3\sqrt{3}{a}^2/4}$，选 D。