培玉 · 一试
2016 年陕西预赛 · 第 12 题
F2填空题函数的值域
设 ，则函数
的最小值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
绝对值和可按零点分段，也可寻找一组符号，使若干线性项相加后变量抵消。
思路
若这种全局下界能与剩余绝对值同时取等，就直接得到最小值。
解答
对任意实数 ，有
相加得
当 时，四项绝对值分别为 ，总和为1。 因此
复核
四个折点依次为 ，五个开区间上的斜率依次为 。函数在 之前递减、之后递增，也可确认唯一最小点。
方法总结
绝对值分段与带符号线性下界可以互相核验。尝试让斜率项抵消时，还要检查取等点的各符号条件是否同时满足。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
绝对值和可由折点斜率或带符号线性下界控制；关键是让变量项抵消后，还能找到同时满足各项取等符号的输入，单给一个下界不足以确定最小值。
已记下，谢谢！