一试训练题

解答

（1）取 $x_1=x_2=0$，得 $f(0)=0$；再取 $x_1=x,x_2=-x$，得 $f(-x)=-f(x)$，所以 $f$ 是奇函数。 若 $x_1<x_2$，则

故 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。

（2）由 $f(0)=0$ 及严格递增性，所求条件等价于

令 $t=\cos \theta \in [0,1]$，得 $2t^2-2mt+4m-4>0$。因 $2-t>0$，等价于

记 $L=4-2\sqrt{2}$。有恒等式

等号在 $t=2-\sqrt{2}\in [0,1]$ 时取得，所以条件当且仅当 $\boxed{m>4-2\sqrt{2}}$。