易混 2024 年中科大少年班入围考 第 3 题 · P009754
先按象限去掉绝对值，只保留该象限内真正出现的圆弧，再辨认由这些弧围成的区域；不能见到配方后的圆就直接加整圆面积。
前题的外边界是跨两个轴截点的半圆弧，原点只是孤立解；后题每个象限只有小弓形，左右两叶在原点相接，两者的拼接方式不同。
培玉 · 一试
2026 年上海预赛
绝对值圆弧围成图形的面积
F3填空题直线与圆
在平面直角坐标系中，曲线
围成的封闭图形的面积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
绝对值使图形关于两条坐标轴对称。
思路
限制在第一象限后，曲线变成以 为圆心、 半径为 的圆的一段；先认清这一段是半圆弧，再计算一个象限内的面积。
解答
在第一象限内，方程化为
曲线的外边界从 连到 。这两个端点关于圆心 对称， 所以该段外边界是半径为 的半圆弧。
第一象限内封闭图形的面积等于直角三角形 的面积与上述半圆面积之和，即
由关于两条坐标轴的对称性，所求总面积为
复核
原点也满足方程，但它在每个象限对应的圆弧中都是孤立点，不改变封闭区域的面积。 四段外半圆弧依次在 处连接，确实构成唯一的外边界。
方法总结
含 的对称曲线应先按象限去掉绝对值。若所得圆弧的两个端点关于圆心对称， 就可直接识别为半圆；面积再分成多边形部分和圆弓形部分计算。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
去绝对值后需辨认第一象限有效外弧恰为半圆，将该象限面积分成三角形与半圆，再利用四重对称。
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