2022 年浙江预赛

解答

椭圆长半轴平方为 $24$，右焦距为 $\sqrt{24-b^2}$；抛物线焦点为 $(p,0)$，故

由 $0<b<2\sqrt{6}$ 及 $p\in {\mathbb{N}}_{+}$，有 $p\in \{1,2,3,4\}$。

设 $l$ 的正整数斜率为 $k$，即 $y=k(x-p)$。分别代入椭圆和抛物线，并用二次方程根差乘以 $\sqrt{1+k^2}$，得到

题设弦长关系化为

代入 $b^2=24-p^2$ 后得

当 $p=1,2,3,4$ 时，右端依次为

只有最后一个是正整数的平方，故 $p=4,k=2$，并且